Остроугольный треугольник АВС вписан в окружность ω. Точки O1 и O2 — центры вневписанных окружностей ω1 и ω2, касающихся отрезков АВ и АС соответственно. Точка М — середина большей дуги ВС окружности ω.
а) Докажите, что точка М лежит на прямой O1O2.
б) На биссектрисе угла ВАС выбрана точка К такая, что 
Найдите радиус описанной окружности треугольника ВКС, если сумма радиусов окружностей ω1 и ω2 равна 
и 
а) Пусть N — вторая точка пересечения прямой O1O2 и окружности ω. Заметим, что
Второе равенство следует из того, что O1A делит пополам внешний угол треугольника ABC при вершине A. Имеем:
Таким образом, треугольник BNC равнобедренный, то есть точка N совпадает с точкой M, а потому лежит на прямой O1O2.
б) Отрезок AO1 — биссектриса внешнего угла A треугольника ABC, AK — биссектриса внутреннего угла A, поэтому прямые KA и O1O2 перпендикулярны. Пусть OH2 — радиус ω2, 
следовательно, 
Аналогично OH1 — радиус ω1 и 
тогда
Из условия 
получаем, что
тогда 
Тем самым точки B, C, K лежат на одной окружности с диаметром O1O2. Значит, ее радиус равен 5.
Ответ: б) 5.