В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 длина бокового ребра AA1 равна 2. Шар с центром в точке О касается всех граней этой призмы. Точки M, N и K — середины ребер AB, A1B1 и CC1 соответственно, P — точка пересечения прямой NO с плоскостью основания АВС.
а) Докажите, что прямые РК и МО параллельны.
б) Найдите расстояние от точки О до плоскости АРК.
а) Пусть L — точка пересечения прямой AP с ребром BC, O' — проекция точки O на плоскость основания ABC, AKL — сечение призмы. Заметим, что прямые MN, OO', и CC1 — параллельны. Кроме того, MN = CC1 = 2OO' = 2CK, следовательно, OO' = CK, MO' = O'P = PC. Таким образом, треугольники MOO' и PKC равны, значит, и углы O'MO и CPK. Cледовательно, прямые
б) По п. а) прямые MO и PK параллельны, поэтому расстояния от точек O и M до плоскости APK равны. Расстояние от точки M до плоскости APK равно HM — высоте пирамиды MAKP, проведенной из точки M. Вычислим объем этой пирамиды, приняв треугольник MPA в качестве основания, а за вершину точку K. Высотой является отрезок KC, равный 1. Радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен радиусу шара, вписанного в призму, следовательно,
Вычислим стороны треугольника AKL:
Площадь треугольника AKL вычислим по формуле Герона, получим: 
Тогда
Ответ: б) 