В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С продолжение биссектрисы СK этого треугольника (точка К лежит на гипотенузе AB) пересекает его описанную окружность в точке L. Прямая, проходящая через точку L и середину гипотенузы AB, пересекает вторично описанную окружность треугольника АBC в точке М и пересекает катет ВС в точке P.
а) Докажите, что прямая МK является касательной к описанной окружности треугольника ВМР.
б) Найдите площадь треугольника МКР, если AC = 3 и BC = 4.
а) Заметим, что дуги AL и LB равны, поскольку
Тогда равны и хорды AL = LB, а потому радиус LO — медиана и выcота треугольника ALB (поскольку точка O — середина стороны AB).
Хорда, перпендикулярная диаметру, делится им пополам, следовательно, LO = OM, тогда треугольник MKL равнобедренный. Значит, 
Заметим еще, что 
как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, откуда 
Тогда прямая KM является касательной к окружности, описанной около треугольника BMP.
б) По теореме Пифагора 
откуда 
а значит, 
Треугольники BOP и BCA подобны, поэтому 
следовательно,
Отрезок LM походит через середину диаметра, значит, LM — тоже диаметр, тогда 
и 
По свойству биссектрисы 
следовательно, 
Тогда 
Находим площадь треугольника МКР:
Ответ: б) 