ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 656658 Добавить в вариант

a)  Решите уравнение $2 косинус в квадрате x плюс синус в квадрате x=2 косинус в кубе x .$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .$

Спрятать решение

Решение.

а)  По основному тригонометрическому тождеству $синус в квадрате x = 1 минус косинус в квадрате x,$ тогда:

$2 косинус в квадрате x плюс синус в квадрате x=2 косинус в кубе x равносильно косинус в квадрате x плюс 1 = 2 косинус в кубе x равносильно 2 косинус в кубе x минус косинус в квадрате x минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка косинус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x плюс косинус x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений косинус x = 1, 2 косинус в квадрате x плюс косинус x плюс 1 = 0 конец совокупности . равносильно косинус x = 1 равносильно x = 2 Пи k, k принадлежит Z .$ $2 косинус в квадрате x плюс синус в квадрате x=2 косинус в кубе x равносильно косинус в квадрате x плюс 1 = 2 косинус в кубе x равносильно$
$равносильно 2 косинус в кубе x минус косинус в квадрате x минус 1 = 0 равносильно левая круглая скобка косинус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x плюс косинус x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 1, 2 косинус в квадрате x плюс косинус x плюс 1 = 0 конец совокупности . равносильно косинус x = 1 равносильно x = 2 Пи k, k принадлежит Z .$ $2 косинус в квадрате x плюс синус в квадрате x=2 косинус в кубе x равносильно косинус в квадрате x плюс 1 = 2 косинус в кубе x равносильно$
$равносильно 2 косинус в кубе x минус косинус в квадрате x минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка косинус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x плюс косинус x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 1, 2 косинус в квадрате x плюс косинус x плюс 1 = 0 конец совокупности . равносильно косинус x = 1 равносильно x = 2 Пи k, k принадлежит Z .$ $2 косинус в квадрате x плюс синус в квадрате x=2 косинус в кубе x равносильно косинус в квадрате x плюс 1 = 2 косинус в кубе x равносильно$
$равносильно 2 косинус в кубе x минус косинус в квадрате x минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка косинус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x плюс косинус x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 1, 2 косинус в квадрате x плюс косинус x плюс 1 = 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно косинус x = 1 равносильно x = 2 Пи k, k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни уравнения на заданном отрезке. Имеем:

$минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно 2 Пи k меньше или равно минус 2 Пи равносильно минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно k меньше или равно минус 1 \underset k принадлежит Z \mathop равносильно k = минус 1.$

Единственным корнем, принадлежащим заданному отрезку, является число −2π.

Ответ: а)   $левая фигурная скобка 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  −2π.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источники:

Задания 13 ЕГЭ–2024;

ЕГЭ по математике 29.03.2024. Досрочная волна. Дальний Восток.

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него, Разложение на множители

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь