Диагональ B1D куба ABCDA1B1C1D1 перпендикулярна плоскости α, причем B1 лежит в плоскости α. Грани куба с вершиной D продолжены до пересечения с плоскостью α, и высекают в ней треугольник MNF.
а) Докажите, что пирамида DMNF правильная.
б) Найдите объем пирамиды DMNF, если ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 6.
а) Прямая BD — проекция B1D на плоскость ABC. Диагонали лежащего в основании квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому по теореме о трех перпендикулярах прямые B1D и AC взаимно перпендикулярны. Аналогично прямая B1D перпендикулярна прямой CD1. Следовательно, прямая B1D перпендикулярна плоскости ACD1. По условию прямая B1D также перпендикулярна плоскости α, следовательно, плоскости ACD1 и α параллельны.
Отрезки CD1, AD1 и AC равны как диагонали равных квадратов, поэтому треугольник ACD1 — равносторонний. Обозначим О точку пересечения прямой DB1 с плоскостью ACD1. Отрезки AD, DC и DD1 равны, значит, точка O равноудалена от точек A, C и D1, то есть является центром равностороннего треугольника ACD1. Таким образом, в основании пирамиды DACD1 лежит равносторонний треугольник. Отрезок DO — высота пирамиды, то есть вершина D проектируется в центр основания. Тем самым пирамида DACD1 правильная.
Покажем, что пирамиды DMNF и DACD1 подобны. Действительно, плоскость α, параллельная плоскости ACD1, а потому прямые MN, NF и MF, по которым α, пересекает плоскости ADC, CDD1 и ADD1, параллельны прямым AC, CD1 и AD1 соответственно. Пирамида, подобная правильной, является правильной.
б) Коэффициент k подобия пирамид DMNF и DACD1 равен отношению их высот. Пусть точка S — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Из треугольника SDD1 находим:
Расстояние от центра равностороннего треугольника до его стороны втрое меньше высоты треугольника:
Следовательно, 
Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, а потому 
Найдем объем пирамиды DACD1:
Таким образом, объем пирамиды DMNF равен 
Ответ: б) 972.