ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 17 № 657012 Добавить в вариант

В треугольнике ABC точка D лежит на стороне BC. B треугольники ABD и ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K.

а)  Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC.

б)  Найдите длину отрезка АК, если периметр треугольника ABC равен 20, а сторона BC равна 5.

Спрятать решение

Решение.

а)  Обозначим точки касания так, как на чертеже. Пусть p  — полупериметр треугольника. Используя свойство отрезков касательных, получаем:

$AK = AK _ 1 минус KK _ 1 = p_AMK минус KK_1 = p_AMK минус KK_2.$

$AK = AM_1 минус KM_1 = P_ANK минус KN_2.$

Сложим равенства, получим:

$2AK = p_AMK плюс p_ANK минус K_2N_2 = AM_1 плюс AM_1 минус B_1 C_1 =$
$= AB минус BN_1 плюс AC минус CM_1 минус левая круглая скобка BC минус левая круглая скобка BB_1 плюс CC_1 правая круглая скобка правая круглая скобка = AB плюс AC минус BC.$ $2AK = p_AMK плюс p_ANK минус K_2N_2 = AM_1 плюс AM_1 минус B_1 C_1 =$
$= AB минус BN_1 плюс AC минус CM_1 минус левая круглая скобка BC минус левая круглая скобка BB_1 плюс CC_1 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= AB плюс AC минус BC.$ $2AK = p_AMK плюс p_ANK минус K_2N_2 =$
$= AM_1 плюс AM_1 минус B_1 C_1 =$
$= AB минус BN_1 плюс AC минус CM_1 минус левая круглая скобка BC минус левая круглая скобка BB_1 плюс CC_1 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= AB плюс AC минус BC.$

Следовательно, $AK = дробь: числитель: AB плюс AC минус BC, знаменатель: 2 конец дроби ,$ что не зависит от положения точки D.

б)  Из пункта а) получаем:

$AK = дробь: числитель: AB плюс AC минус BC, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: AB плюс BC плюс AC, знаменатель: 2 конец дроби минус BC = дробь: числитель: 20, знаменатель: 2 конец дроби минус 5 = 5.$

Ответ: б)  5.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 461

Методы геометрии: Свойства касательных, секущих

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь