Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 658809
i

В июле 2025 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 800 тыс. руб. на 10 лет. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  —  каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года ( r  — целое число);

  —  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

  —  в июле каж­до­го из годов 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг дол­жен быть на какую-то одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше по срав­не­нию с июлем преды­ду­ще­го года;

  —  в июле 2030 года долг дол­жен со­став­лять 500 тыс. руб.;

  —  в июле каж­до­го из годов 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг дол­жен быть на дру­гую одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше по срав­не­нию с июлем преды­ду­ще­го года;

  —  к июлю 2035 года кре­дит дол­жен быть вы­пла­чен пол­но­стью.

Из­вест­но, что сумма вы­плат по кре­ди­ту со­ста­вит 1780 тыс. руб. Най­ди­те, сколь­ко руб­лей со­ста­вит платёж в 2034 году.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим для удоб­ства из­на­чаль­ную сумму кре­ди­та за S  =  800 тыс. руб. Пусть x  — по­сто­ян­ная сумма на ко­то­рую умень­ша­ет­ся долг каж­дый июль с 2026 по 2030 год, а y  — с 2031 по 2035 года. Тогда суммы долга в июле по годам с 2025 по 2035 со­ста­вят:

 S ,  S минус x,  S минус 2x,  S минус 3x,  S минус 4x,  S минус 5x=500,  S минус 5x минус y,  S минус 5x минус 2y,  S минус 5x минус 3y,  S минус 5x минус 4y,  S минус 5x минус 5y=0.

Из ра­вен­ства за 2030 год сле­ду­ет, что x  =  60 тыс. руб., а из по­след­не­го ра­вен­ства сле­ду­ет, что x + y  =  160 тыс. руб. от­ку­да y  =  100 тыс. руб.

Пусть k= дробь: чис­ли­тель: r \%, зна­ме­на­тель: 100 \% конец дроби , тогда про­цен­ты, на­чис­лен­ные с 2026 по 2035 год, со­ста­вят:

kS,  k левая круг­лая скоб­ка S минус x пра­вая круг­лая скоб­ка ,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка ,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка ,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка ,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка ,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 5x минус y пра­вая круг­лая скоб­ка ,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 5x минус 2y пра­вая круг­лая скоб­ка ,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 5x минус 3y пра­вая круг­лая скоб­ка ,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 5x минус 4y пра­вая круг­лая скоб­ка ,

а вы­пла­ты в со­от­вет­ству­ю­щие годы будут:

kS плюс x,  k левая круг­лая скоб­ка S минус x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 5x минус y пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 5x минус 2y пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 5x минус 3y пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y,  k левая круг­лая скоб­ка S минус 5x минус 4y пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y.

Тогда сумма вы­плат яв­ля­ет­ся сум­мой двух раз­лич­ных ариф­ме­ти­че­ских про­грес­сий по пять чле­нов в каж­дой, она равна:

 дробь: чис­ли­тель: kS плюс x плюс k левая круг­лая скоб­ка S минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 5 плюс дробь: чис­ли­тель: k левая круг­лая скоб­ка S минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y плюс k левая круг­лая скоб­ка S минус 5x минус 4y пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 5 = 1780 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 10kS плюс 5x минус 35kx плюс 5y минус 10yk = 1780 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 8000k плюс 300 минус 2100k плюс 500 минус 1000k = 1780 рав­но­силь­но 4900k = 980 рав­но­силь­но k = 0,2.

Тогда платёж в 2034 году будет равен

0,2 левая круг­лая скоб­ка 800 минус 5 умно­жить на 60 минус 3 умно­жить на 100 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 100=140 тыс. руб.

Ответ: 140 000.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Верно по­стро­е­на ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2

Аналоги к заданию № 642734: 643055 658809 Все

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 464
Классификатор алгебры: За­да­чи о кре­ди­тах