Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет два решения.
Запишем систему в виде:
График первого уравнения — прямая с угловым коэффициентом 4, проходящая через 
и 
заданных на объединении лучей 
1. При 
то есть при 
прямая (1) имеет с нижней частью графика уравнения (2) ровно две точки пересечения. Чтобы прямая не имела общих точек с верхней частью графика, уравнение
не должно иметь решений при 
Это достигается при отрицательном дискриминанте полученного уравнения:
С учетом условия 
получаем, что при 
система имеет ровно два решения.
2. Если 
и 
то есть 
то прямая имеет ровно одну точку пересечения с нижней частью графика уравнения (2) и ровно одну точку пересечения с верхней частью графика, то есть исходная система имеет ровно два решения.
3. При 
то есть при 
прямая имеет ровно две точки пересечения с верхней частью графика уравнения (2). Чтобы прямая не имела общих точек с нижней частью графика, уравнение
не должно иметь решений при 
Это достигается при отрицательном дискриминанте полученного уравнения:
С учетом условия 
получаем, что при 
система имеет ровно два решения.
Итак, исходная система имеет два решения при 
Ответ: 
Приведем аналитическое решение.
Запишем систему в виде
Из уравнения 
получаем, что каждому значению x, удовлетворяющему системе, соответствует ровно одно значение y. Поэтому количество решений системы совпадает с количеством корней уравнения 
Рассмотрим два случая раскрытия модуля.
Случай 1. Если 
то
принимает вид
Решим это неравенство. Пусть 
тогда:
Используя метод интервалов и условие на ОДЗ, получаем: либо
либо б):
Случай 2. При 
раскрывая модуль, получаем уравнение 
решениями которого являются 
Для найденных решений неравенство 
принимает вид
Положим, 
тогда
Используя метод интервалов и условие на ОДЗ, получаем: либо а)
либо
Теперь рассмотрим все возможные значения параметра a и количество решений, которые система будет иметь при каждом отдельно взятом значении:
При 
два решения — случаи 2а) и 2б).
При a = –9 три решения — случаи 2а) и 2б) и совпадающие корни из случаев 1а) и 1б).
При 
по два решения из каждого пункта, итого четыре решения.
При a = –8 три решения — случаи 1а), 1б) и 2б).
При 
два решения — случаи 1а) и 2б).
При a = 0 три решения — случаи 1а), 1б) и 2б).
При 
по два решения из каждого пункта, итого четыре решения.
При a = 1 три решения — случаи 1а) и 1б) и совпадающие корни из случаев 2а) и 2б).
При 
два решения — случаи 1а) и 1б).
Итак, два решения система имеет при 