ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 660776 Добавить в вариант

Над парой целых чисел (a; b) проводится операция, после которой получается пара $левая круглая скобка 3 a плюс b; 3 b минус a правая круглая скобка .$

а)  Возможно ли из какой-то пары получить пару (5; 5)?

б)  Верно ли, что если пара (c; d) может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара (−d; c) тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции?

в)  Зададим расстояние между парами целых чисел (a; b) и (c; d) выражением $|a минус c| плюс |b минус d|.$ Найдите наименьшее расстояние от пары (9; 2) до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.

Спрятать решение

Решение.

а)  Система уравнений $3a плюс b = 5,$ $3 b минус a = 5$ имеет решение $a = 1,$ $b = 2,$ поэтому $левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 5; 5 правая круглая скобка .$

б)  Пусть $3a плюс b = c$ и $3b минус a = d.$ Тогда $3 левая круглая скобка минус b правая круглая скобка плюс a = минус d$ и $3 a минус левая круглая скобка минус b правая круглая скобка = c,$ то есть $левая круглая скобка минус b; a правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка минус d, c правая круглая скобка .$ Значит, утверждение верно.

в)  Найдем наименьшее значение выражения $\abs3 a плюс b минус 9 плюс \abs3 b минус a минус 2.$ При $a = b = 2$ его значение 3. Докажем, что получить меньше нельзя. В самом деле, пусть это возможно. Оба слагаемых  — целые неотрицательные числа, значит, каждое из них не превосходит двух. То есть $7 меньше или равно 3 a плюс b меньше или равно 11$ и $0 меньше или равно 3 b минус a меньше или равно 4.$ Домножая второе неравенство на 3 и складывая, получим $7 меньше или равно 10 b меньше или равно 23,$ откуда $b = 1$ или $b = 2.$

При $b = 1$ получаем: $6 меньше или равно 3 a меньше или равно 10$ и $минус 1 меньше или равно a меньше или равно 3,$ поэтому следует проверить $a = 2$ и $a = 3.$

При $b = 2$ получаем: $5 меньше или равно 3 a меньше или равно 9$ и $2 меньше или равно a меньше или равно 6,$ поэтому следует проверить $a = 2$ и $a = 3.$

Итак, требуют проверки пары $левая круглая скобка 2, 1 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 7, 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 3, 1 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 10, 0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 2, 2 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 8, 4 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 3, 2 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 11, 3 правая круглая скобка .$ Все они дают результат не лучше.

Ответ: а)  да; б) да; в)  3.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: Задания 19 ЕГЭ–2024

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь