Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 669751
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка y минус a пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 ко­си­нус x = 0, ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка ay минус y в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3y пра­вая круг­лая скоб­ка конец си­сте­мы .

имеет не­чет­ное число ре­ше­ний.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем вто­рое урав­не­ние си­сте­мы

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка ay минус y в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3y пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка a минус y пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 y = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 y рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка a минус y пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка , y боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний a минус y= минус 3x, x мень­ше 0, y боль­ше 0. конец си­сте­мы .

Учи­ты­вая по­лу­чен­ное ра­вен­ство a минус y= минус 3x, пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние си­сте­мы. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой ко­си­ну­са трой­но­го ар­гу­мен­та ко­си­нус 3x=4 ко­си­нус в кубе x минус 3 ко­си­нус x:

ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 ко­си­нус x = 0 рав­но­силь­но ко­си­нус 3x минус 2 ко­си­нус x=0 рав­но­силь­но 4 ко­си­нус в кубе x минус 3 ко­си­нус x минус 2 ко­си­нус x=0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 4 ко­си­нус в кубе x минус 5 ко­си­нус x=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x=0, 4 ко­си­нус в квад­ра­те x=5 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но ко­си­нус x=0 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k, k при­над­ле­жит Z .

Таким об­ра­зом, ис­ход­ная си­сте­ма рав­но­силь­на си­сте­ме

си­сте­ма вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k , k при­над­ле­жит Z , a минус y= минус 3x, x мень­ше 0, y боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус Пи k , k при­над­ле­жит N , y=3x плюс a, y боль­ше 0. конец си­сте­мы .

Каж­до­му зна­че­нию x, со­от­вет­ству­ет ровно одно зна­че­ние y, по­это­му число ре­ше­ний по­лу­чен­ной си­сте­мы сов­па­да­ет с чис­лом ре­ше­ний си­сте­мы

си­сте­ма вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус Пи k , k при­над­ле­жит N , 3x плюс a боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 2 Пи k, x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 2 Пи k, конец си­сте­мы . a боль­ше минус 3x, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит N .

Не­чет­ное число ре­ше­ний до­сти­га­ет­ся, тогда и толь­ко тогда, когда при опре­делённом зна­че­нии k число дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 2 Пи k яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем си­сте­мы, а число дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 2 Пи k  — не яв­ля­ет­ся. Тогда при минус дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 6 Пи n мень­ше a мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 6 Пи n, где n при­над­ле­жит N ис­ход­ная си­сте­ма имеет не­чет­ное число ре­ше­ний.

 

Ответ: минус дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 6 Пи n мень­ше a мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 6 Пи n, где n при­над­ле­жит N .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, но до­пу­щен не­до­чет3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния,

ИЛИ

в ре­ше­нии верно най­де­ны все гра­нич­ные точки мно­же­ства зна­че­ний па­ра­мет­ра, но не­вер­но опре­де­ле­ны про­ме­жут­ки зна­че­ний

2
В слу­чае ана­ли­ти­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к на­бо­ру ре­шен­ных урав­не­ний и не­ра­венств с уче­том тре­бу­е­мых огра­ни­че­ний,

ИЛИ

в слу­чае гра­фи­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния линий (изоб­ра­же­ны не­об­хо­ди­мые фи­гу­ры, учте­ны огра­ни­че­ния, ука­за­на связь ис­ход­ной за­да­чи с по­стро­ен­ны­ми фи­гу­ра­ми)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 475
Классификатор алгебры: Си­сте­мы с па­ра­мет­ром, Ком­би­на­ция пря­мых
Методы алгебры: Раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025