ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 671368 Добавить в вариант

На доске в первой строке написано $n больше или равно 2$ различных натуральных чисел, а во второй  — по одному разу те и только те натуральные числа, которые являются наименьшим общим кратным каких‐либо двух различных чисел из первой строки. Например, если в первой строке написаны числа 1, 2, 3 и 4, то во второй строке написаны числа 2, 3, 4, 6 и 12.

а)  Может ли во второй строке быть написано ровно 10 чисел при $n = 5?$

б)  Может ли во второй строке быть написано ровно одно число при $n больше 10?$

в)  Какое наименьшее значение может принимать n, если среди чисел второй строки есть числа $2 в квадрате , 2 в кубе , \ldots, 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка$ и $3 в квадрате , 3 в кубе , \ldots, 3 в степени 8 ?$

Спрятать решение

Решение.

а)  Да. Пусть в первой строке написаны пять различных простых чисел (например, 2, 3, 5, 7, 11). Наименьшее общее кратное любых двух из них  — это их произведение, и все такие произведения различны.

б)  Да. Возьмем 20 простых чисел и выпишем в первую строку произведения 19 из них. Очевидно, наименьшее общее кратное любых двух таких произведений  — это произведение всех 20 чисел.

в)  Заметим, что если наименьшее общее кратное двух чисел это степень простого числа, то одно из чисел совпадает с ним. В самом деле, пусть HOK(a, b)  =  p^k, тогда p^k кратно и a и b, значит, a  =  p^x, b  =  p^y, причем $x, y меньше или равно k.$ Если $x, y меньше k,$ то

$\text HOK левая круглая скобка a, b правая круглая скобка = \text HOK левая круглая скобка p в степени x , p в степени y правая круглая скобка = p в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x, y правая круглая скобка правая круглая скобка меньше p в степени k ,$

поэтому x  =  k или y  =  k, откуда HOK(a, b)  =  a или HOK(a, b)  =  b. Значит, все упомянутые числа есть и в первой строке, и их уже 9 + 7  =  16. При этом среди них нет пары чисел, HOK которых равен 2², поэтому 16 чисел тоже недостаточно. Если добавить к ним число 1, то любое указанное число получится, например как HOK(1, a)  =  a.

Ответ: а)  да; б)  да; в)  17.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 479

Классификатор алгебры: Числовые наборы на карточках и досках

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь