Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 673038
i

В кубе ABCDA1B1C1D1 от­ме­че­ны точки M и N  — се­ре­ди­ны сто­рон AB и AD со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые B1N и CM пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между этими пря­мы­ми, если B_1N = 7 ко­рень из 2 .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть от­рез­ки BN и CM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P, тогда:

тан­генс \angle MBP = дробь: чис­ли­тель: AN, зна­ме­на­тель: AB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

тан­генс \angle BMP = дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: BM конец дроби = 2,

\angle MBP плюс \angle BMP = арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс арк­тан­генс 2 = \arcctg 2 плюс арк­тан­генс 2 = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

то есть угол BPM  — пря­мой. От­ре­зок BN  — про­ек­ция от­рез­ка B1N на плос­кость ABCD, зна­чит, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах угол между от­рез­ка­ми B1N и CM также пря­мой.

б)  Плос­кость BB1N пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой CM, так как пря­мая BN пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой CM и пря­мая BB1 пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой CM. Возь­мем на от­рез­ке B1N точку Q такую, что от­ре­зок PQ пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой B1N. По­лу­ча­ем, что от­ре­зок PQ  — ис­ко­мое рас­сто­я­ние.

Пусть AD  =  2x, AN  =  x, тогда

BN = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та ,

B_1N в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 5x в квад­ра­те = 9x в квад­ра­те ,

x в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 7 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 98, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби .

От­ре­зок BP  — вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка MBC, сле­до­ва­тель­но,

BP = дробь: чис­ли­тель: BM умно­жить на BC, зна­ме­на­тель: CM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: BM умно­жить на BC, зна­ме­на­тель: BN конец дроби = дробь: чис­ли­тель: x умно­жить на 2x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та x конец дроби = x умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та x = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби BN,

от­ку­да PN = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та x. Тре­уголь­ни­ки PQN и BB1N по­доб­ны по двум углам, зна­чит, дробь: чис­ли­тель: PQ, зна­ме­на­тель: BB_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: PN, зна­ме­на­тель: B_1N конец дроби и

PQ = дробь: чис­ли­тель: 2x умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 35 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на x в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 98, зна­ме­на­тель: 35 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 9 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 14 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: чис­ли­тель: 14 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 485
Методы геометрии: Свой­ства высот, Тео­ре­ма о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах, Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор стереометрии: Пер­пен­ди­ку­ляр­ность пря­мых, Рас­сто­я­ние от точки до пря­мой, Куб
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026