Мороз Иванович написал на доске несколько (более одного) попарно различных натуральных чисел, причем любые два из них отличаются не более чем в три раза.
а) Может ли на доске быть 6 чисел, сумма которых равна 71?
6) Может ли на доске быть 9 чисел, сумма которых равна 71?
в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 7000?
а) Да, например, 9, 10, 11, 12, 13, 16.
б) Нет. Пусть наименьшее число равно x. Тогда сумма не меньше чем
откуда 
и 
Значит, 
но по условию числа отличаются не более чем в 3 раза, поэтому наибольшее из чисел не превосходит 9. Но сумма девяти чисел от 1 до 9 равна 45.
в) Разложим на множители: 
Докажем, что большее количество чисел использовать нельзя. Заметим, что 
то есть при разложении данных чисел на простые множители возникнут всего семь простых. Если чисел хотя бы четыре, то как минимум одно из них будет содержать не более одного простого множителя, то есть будет равно 1, 2, 5 или 7. Значит, наибольшее число не превосходит 
Среди чисел до 21 есть такие делители числа 7000: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 14, 20. Среди них только три числа кратны 5, причем ни одно не кратно 52, поэтому для получения данного произведения нужно использовать их все, то есть 5, 10, 20, но 5 и 20 отличаются в четыре раза.
Ответ: а) да; б) нет; в) 2 или 3.