Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 675574
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние синус левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка ко­рень из x пра­вая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка плюс синус левая круг­лая скоб­ка Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = 0.

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку [−1; 1].

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что x боль­ше 0, x не равно q 1. Пре­об­ра­зу­ем левую часть урав­не­ния при этом огра­ни­че­нии:

синус левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка ко­рень из x пра­вая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка плюс синус левая круг­лая скоб­ка Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =
= синус левая круг­лая скоб­ка 2 Пи x} пра­вая круг­лая скоб­ка плюс синус левая круг­лая скоб­ка Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2 Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка } = 2 синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби } пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка } = 2 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби } пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка } пра­вая круг­лая скоб­ка .

Таким об­ра­зом,

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи x}2 = 0 , \ctg дробь: чис­ли­тель: 3 Пи x}2 = минус 1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: Пи x}2 = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k , дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = 1 плюс 2k, x = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит \mathbb{Z, зна­ме­на­тель: . конец дроби

Усло­ви­ям x боль­ше 0, x не равно q 1 удо­вле­тво­ря­ют числа x = 1 плюс 2k, x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби при k при­над­ле­жит N .

б)  За­ме­тим, что из пер­вой серии в от­ре­зок [−1; 1] числа не по­па­да­ют. Для вто­рой серии по­лу­ча­ем: минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно 1, от­ку­да k  =  1. Най­ден­но­му зна­че­нию па­ра­мет­ра со­от­вет­ству­ет ре­ше­ние x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка 1 плюс 2k; минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби : k при­над­ле­жит N пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 494
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026