Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме сто­ро­на AB ос­но­ва­ния равна 4, точка M  — се­ре­ди­на ребра CC1.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние A1MB  — рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник.

б)  Най­ди­те вы­со­ту приз­мы, если пло­щадь се­че­ния равна 18.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Тре­уголь­ни­ки A1C1M равны по двум ка­те­там, сле­до­ва­тель­но, A_1M = BM. В тре­уголь­ни­ке A1MB две сто­ро­ны равны, то есть он рав­но­бед­рен­ный по опре­де­ле­нию.

б)  Пусть точка O  — се­ре­ди­на сто­ро­ны A1B, а также CC_1 = 2x. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке A1B1B:

A_1B = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: BB_1 в квад­ра­те плюс AB в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4x в квад­ра­те плюс 16 конец ар­гу­мен­та = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 4 конец ар­гу­мен­та ,

от­ку­да A_1O = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 4 конец ар­гу­мен­та . Най­дем вы­со­ту тре­уголь­ни­ка A1BM: в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке она сов­па­да­ет с ме­ди­а­ной. Длину от­рез­ка MO вы­ра­зим по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ков A1MO и A1C1M:

MO = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: A_1M в квад­ра­те минус A_1O в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка A_1C_1 в квад­ра­те плюс C_1M пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус A_1O в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те минус x в квад­ра­те минус 4 конец ар­гу­мен­та = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

По фор­му­ле пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на MO умно­жить на A_1B = S_A_1MB, от­ку­да

2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 4 конец ар­гу­мен­та = 18 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 4 конец ар­гу­мен­та = 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс 4 = 27 рав­но­силь­но x в квад­ра­те = 23 \underset x боль­ше 0 \mathop рав­но­силь­но x = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 23 конец ар­гу­мен­та .

Таким об­ра­зом, вы­со­та приз­мы равна  2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 23 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: б)  2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 23 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 676903: 677087 681580 Все

Источники:
Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор стереометрии: Се­че­ние  — тре­уголь­ник, Пло­щадь се­че­ния, Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026