В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 со стороной основания 16 на ребрах AC и A1C1 выбраны соответственно точки M и K так, что AM : MC = 11 : 5, A1K : KC1 = 3 : 5, точка N — середина BC.
а) Докажите, что точка B1 лежит в плоскости KMN.
б) Найдите высоту призмы, если известно, что она равна расстоянию от точки C1 до плоскости KMN.
а) Стороны основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равны 16, поэтому
Продлим прямую KM до пересечения с прямой CC1 в точке P. Прямая MC параллельна прямой KC1 и 
Отрезок MC — средняя линия треугольника KC1P, следовательно, отрезки CC1 и CP равны. Тогда прямая B1P должна пересекать BC в середине, значит, точка N лежит на прямой B1P, а потому лежит в плоскости KMN.
б) Пусть 
тогда высота пирамиды C1KB1P, проведенная из точки C, тоже равна x. Выразим объем пирамиды C1KB1P двумя способами:
Отрезок PC1 равен 2x. Используя теорему Пифагора и теорему косинусов, вычислим:
откуда
Значит,
Выразим площади треугольников KB1P и KC1B1:
Таким образом, получим:
Ответ: 