Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 682567
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка 6 a минус x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка 2 a плюс 2 x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка 6 a минус x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка

имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке [0; 1].

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пе­ре­несём вы­ра­же­ние из пра­вой части в левую и раз­ло­жим на мно­жи­те­ли, по­лу­чим:

на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка 6a минус x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 2x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = 0,

По усло­вию 0 мень­ше или равно x мень­ше или равно 1. Воз­мож­ны два слу­чая.

Слу­чай 1:

си­сте­ма вы­ра­же­ний на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка 6a минус x пра­вая круг­лая скоб­ка = 0, 2a плюс 2x минус 2 боль­ше 0, x минус a боль­ше 0, 0 мень­ше или равно x мень­ше или равно 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 6a минус x = 1, a плюс x боль­ше 1, x боль­ше a, 0 мень­ше или равно x мень­ше или равно 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x = 6a минус 1, 7a минус 1 боль­ше 1, 6a минус 1 боль­ше a, 0 мень­ше или равно 6a минус 1 мень­ше или равно 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x = 6a минус 1, a боль­ше дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби , a боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше или равно a мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x = 6a минус 1, дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби мень­ше a мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . конец си­сте­мы .

Слу­чай 2:

си­сте­ма вы­ра­же­ний на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 2x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка = 0, 6a минус x боль­ше 0, 0 мень­ше или равно x мень­ше или равно 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 2a плюс 2x минус 2 = x минус a, x минус a боль­ше 0, x мень­ше 6a, 0 мень­ше или равно x мень­ше или равно 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x = минус 3a плюс 2, минус 3a плюс 2 боль­ше a, минус 3a плюс 2 мень­ше 6a, 0 мень­ше или равно минус 3a плюс 2 мень­ше или равно 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x = минус 3a плюс 2, 4a мень­ше 2, 9a боль­ше 2, минус 2 мень­ше или равно минус 3a мень­ше или равно минус 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x = минус 3a плюс 2, дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби мень­ше a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно a мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x = минус 3a плюс 2, дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец си­сте­мы .

Корни сов­па­да­ют при

6a минус 1 = минус 3a плюс 2 рав­но­силь­но 9a = 3 рав­но­силь­но a = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке [0; 1] при a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, но до­пу­щен не­до­чет3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния,

ИЛИ

в ре­ше­нии верно най­де­ны все гра­нич­ные точки мно­же­ства зна­че­ний па­ра­мет­ра, но не­вер­но опре­де­ле­ны про­ме­жут­ки зна­че­ний

2
В слу­чае ана­ли­ти­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к на­бо­ру ре­шен­ных урав­не­ний и не­ра­венств с уче­том тре­бу­е­мых огра­ни­че­ний,

ИЛИ

в слу­чае гра­фи­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния линий (изоб­ра­же­ны не­об­хо­ди­мые фи­гу­ры, учте­ны огра­ни­че­ния, ука­за­на связь ис­ход­ной за­да­чи с по­стро­ен­ны­ми фи­гу­ра­ми)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4
Классификатор алгебры: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
Методы алгебры: Пе­ре­бор слу­ча­ев, Раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026