а)  На­при­мер, если были на­пи­са­ны 10 раз число 44 и 10 раз число 6, и каж­дое из два­дца­ти чисел умень­ши­ли на еди­ни­цу, то их сред­нее было равно 25, а после опи­сан­ных дей­ствий оно ста­нет равно 43.

б)  Пусть x  — ко­ли­че­ство стёртых чисел, а y  — ко­ли­че­ство про­чих умень­ша­е­мых чисел. Тогда пер­во­на­чаль­но сумма всех чисел была равна А в ре­зуль­та­те на доске оста­нут­ся чисел с общей сум­мой Пред­по­ло­жим, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся чисел равно 39, тогда

От­сю­да сле­ду­ет, что Но тогда что не­воз­мож­но. Зна­чит, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся чисел не может быть равно 39.

в)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­ных чисел равно 32, зна­чит, от­ку­да Тогда в силу не­ра­венств

сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел не может быть боль­ше зна­че­ния  ко­то­рое до­сти­га­ет­ся при

При­ведём при­мер, при ко­то­ром до­сти­га­ет­ся по­лу­чен­ное зна­че­ние. Пусть на доске было на­пи­са­но шесть чисел 6, три­на­дцать чисел 45 и число 19  — их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно 32. Затем все числа 6, и толь­ко их, умень­ши­ли на еди­ни­цу и стёрли. На доске оста­лись три­на­дцать чисел 45 и число 19  — их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно 

Ответ: а)  да, б)  нет, в)