Из набора цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7 и 9 составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел четырёхзначное, другое — трёхзначное и оба кратны 45.
а) Может ли сумма такой пары чисел равняться 2205?
б) Может ли сумма такой пары чисел равняться 3435?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре?
а) Да, может. Например, 1935 + 270 = 2205.
б) Нет, не может. Заметим, что оба числа кратны 5 и 9. Следовательно, сумма этих чисел также должна быть кратна 5 и 9. Сумма цифр числа 3435 равна 15, что не делится на 9. Таким образом, сумма такой пары чисел не может равняться 3435.
в) Чтобы сумма чисел в этой паре была максимальна, четырехзначное должно начинаться с цифры 9. Поскольку два числа кратны 5, то они должны заканчиваться либо на 0, либо на 5. Пусть первое число равно 
а второе число равно 
Из оставшихся цифр в наборе нужно подобрать так, чтобы cуммы 9 + a + b и c + d + 5 были кратны 9. Это возможно при a = 7, b = 2, c = 3 и d = 1. Таким образом, максимальная сумма чисел такой пары равна 9720 + 315 = 10 035.
Ответ: а) да; б) нет; в) 10 035.