ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 683405 Добавить в вариант

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений y = \abs x минус a минус 4, 4 \absy плюс x в квадрате плюс 8x = 0 конец системы .$

имеет ровно четыре различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Требуется, чтобы уравнение $4\abs\absx минус a минус 4 = минус x в квадрате минус 8x$ имело ровно 4 корня. Построим графики левой и правой части уравнения.

Функция $y= минус x в квадрате минус 8x$ задает параболу с вершиной $левая круглая скобка минус 4; 16 правая круглая скобка .$ Мы будем рассматривать ту ее часть, которая выше оси, поскольку левая часть $4\abs\absx минус a минус 4$ неотрицательна.

Функция $y=\absx минус a минус 4$ задает прямой угол с вершиной в точке $левая круглая скобка a; минус 4 правая круглая скобка ,$ поэтому $y = \abs\absx минус a минус 4$   — ломаная с четырьмя звеньями, получаемая отражением нижней части графика вверх. Вершинами полученной ломаной являются точки $левая круглая скобка a; 4 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка a плюс 4; 0 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка a минус 4; 0 правая круглая скобка .$ Угловые коэффициенты всех звеньев равны ±1, а после умножения на 4 равны ±4. Рассмотрим три случая расположения ломаной прямой.

Случай 1. Оба графика имеют вертикальные оси симметрии, поэтому можно рассматривать только случай $a больше или равно минус 4,$ а затем добавить в ответ все значения, симметричные полученным относительно точки −4.

Случай 2. При $a= минус 4$ на параболе лежат все вершины ломаной, поэтому решений 3.

Случай 3. Будем называть звенья ломаной по порядку от первого до четвертого. Если взять a больше −4, то первая вершина ломаной попадет внутрь параболы, первое и второе звенья будут иметь по одному пересечению, третье  — два, а четвертое ни одного. Итого будет 4 решения и это будет продолжаться при увеличении a до тех пор, пока третье звено не станет касаться параболы. В этот момент их станет 3, а при дальнейшем продвижении  — два, третье звено ломаной больше не будет пересекать параболу. Следующее изменение произойдет, когда первая вершина ломаной попадет на параболу. При этом вторая вершина совпадет с вершиной параболы и точек будет две, при дальнейшем движении их будет не более двух. На рисунке оранжевым цветом окрашена парабола, синим  — ломаная при $a = минус 4,$ зеленым  — ломаные, имеющие 4 общих точки с параболой, красным  — ломаные, одна из ветвей которых касается параболы.

Осталось определить a, при котором третье звено ломаной, то есть отрезок прямой

$y=4\abs\absx минус a минус 4=4\absx минус a минус 4=4 левая круглая скобка минус x плюс a плюс 4 правая круглая скобка ,$

касается параболы. При этом уравнение

$минус x в квадрате минус 8x=4 левая круглая скобка минус x плюс a плюс 4 правая круглая скобка равносильно x в квадрате плюс 4x плюс 4 левая круглая скобка a плюс 4 правая круглая скобка =0$

имеет нулевой дискриминант. Имеем: $D=16 минус 16 левая круглая скобка a плюс 4 правая круглая скобка =0,$ откуда $a= минус 3.$ При таком значении а точка касания имеет абсциссу $x = минус 2,$ что соответствует рисунку.

Итак, ёподходят $a принадлежит левая круглая скобка минус 4; минус 3 правая круглая скобка ,$ а также симметричные им $a принадлежит левая круглая скобка минус 5; минус 4 правая круглая скобка .$ Окончательно, $a принадлежит левая круглая скобка минус 5; минус 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 4; минус 3 правая круглая скобка .$

Ответ: $a принадлежит левая круглая скобка минус 5; минус 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 4; минус 3 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь