Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N, причём AM : MC = 1 : 2, BN : ND = 1 : 3.
а) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба BC в отношении 1 : 4.
б) Найдите сторону ромба, если 
а) Пусть прямая MN пересекает сторону BC в точке K и сторону AD в точке L. Пусть также диагонали ромба пересекаются в точке O. Из условия следует, что 
откуда 
то есть 
Аналогично находим, что 
По теореме Менелая для треугольника BOC и прямой MN получаем:
б) Пусть 
Треугольники AML и CMK подобны по двум углам, поэтому 
тогда 
и 
Проведем из вершины D ромба прямую DH, параллельную прямой KL. По теореме Пифагора для треугольника DHC получим 
то есть
Треугольники LDN и KBN подобны по двум углам, поэтому 
откуда 
Из рассмотренного ранее подобия треугольников AML и CMK находим, что 
то есть 
Выразим длину отрезка MN:
Из условия 
поэтому
Таким образом, сторона ромба равна
Ответ: б) 6.