Периметр треугольника ABC равен 36. Точки E и F — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок EF касается окружности, вписанной в треугольник ABC.
а) Докажите, что AC = 9.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если 
a) По условию точки E и F — середины сторон AB и BC соответственно, значит, отрезок EF — средняя линия треугольника ABC и
Окружность касается сторон треугольника AB, BC, AC и средней линии EF, следовательно, окружность вписана в четырёхугольник AEFC. Тогда суммы его противоположных сторон равны: 
Периметр треугольника равен
откуда 
б) Пусть 
тогда 
а по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABC получаем:
Площадь треугольника ABC равна:
Ответ: б) 54.