В прямоугольнике ABCD точка K делит сторону АВ в отношении АK : KВ = 2 : 1, DK пересекает АС в точке Р. На стороне AD отмечена точка Т так, что РТ касается окружности, вписанной в треугольник ACD, а около четырёхугольника PCDT можно описать окружность.
а) Докажите, что AT : TD = 5 : 3
б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырёхугольник PCDT, если АВ = 3.
а) Из условия следует, что 
Следовательно, отрезок TP перпендикулярен диагонали AC. Четырехугольник TPCD — описанный, поэтому ##
Из прямоугольных треугольников CPT и CDT по теореме Пифагора получаем:
Разделим (2) на (1), тогда 
Прибавив к этому равенству равенство (1), получим 
и 
Из условия 
значит, из подобия треугольников APK и CPD по трем углам следует, что 
Пусть 
Тогда по теореме Пифагора в треугольнике ACD 
Треугольники APT и ADC подобны по трем углам, следовательноm
б) Из условия и пункта а) следует, что 
Заметим, что окружность, вписанная в четырехугольник TPCD, вписана и в треугольник ACD. Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной в него окружности и его полупериметра, откуда
Ответ: б) 1.