Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 687079
i

15 де­каб­ря 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 48 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на r про­цен­тов по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2‐го по 14‐е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на 15‐е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  к 15 де­каб­ря 2030 года кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Чему равно r, если общая сумма пла­те­жей в 2030 году со­ста­вит 3195 тысяч руб­лей, а в 2029 году  — 3555 тысяч руб­лей?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть S тыс. руб.  — сумма кре­ди­та. Так как 15‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на 15‐е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца, еже­ме­сяч­но долг умень­ша­ет­ся на  дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби тыс. руб. Со­ста­вим гра­фик по­га­ше­ния кре­ди­та:

 

МесяцДолг в на­ча­ле ме­ся­ца после на­чис­ле­ния про­цен­тов, тыс. руб.Пла­теж, тыс. руб.Долг в конце ме­ся­ца, тыс. руб.
Ян­варь 2027 годаS плюс S умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби  дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби плюс S умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби S минус дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби
Фев­раль 2027 года левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби  дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби плюс левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби S минус дробь: чис­ли­тель: 2S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби
............
Ян­варь 2029 года левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: 24S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: 24S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби  дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби плюс левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: 24S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби S минус дробь: чис­ли­тель: 25S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби
Фев­раль 2029 года левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: 25S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: 25S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби  дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби плюс левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: 25S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби S минус дробь: чис­ли­тель: 26S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби
............
Ян­варь 2030 года левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: 36S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: 36S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби  дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби плюс левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: 36S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби S минус дробь: чис­ли­тель: 37S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби
Фев­раль 2030 года левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: 37S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: 37S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби  дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби плюс левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: 37S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби S минус дробь: чис­ли­тель: 38S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби
............
Де­кабрь 2030 года левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: 47S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: 47S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби  дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби плюс левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: 47S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби S минус дробь: чис­ли­тель: 48S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби

 

Так как сумма пла­те­жей в 2029 году равна 3555 тыс. руб., имеем:

 дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби плюс левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: 24S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби плюс левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: 25S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби плюс \ldots плюс дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби плюс левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: 35S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби умно­жить на 12 плюс дробь: чис­ли­тель: Sr, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 24, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби плюс \ldots плюс дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Sr, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 24, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 12 =
= дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 37, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: Sr, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби = S левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 37r, зна­ме­на­тель: 800 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = S умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 37r плюс 200, зна­ме­на­тель: 800 конец дроби = 3555.

Так как сумма пла­те­жей в 2030 году равна 3195 тыс. руб., имеем:

 дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби плюс левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: 36S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби плюс левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: 37S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби плюс \ldots плюс дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби плюс левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: 47S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби умно­жить на 12 плюс дробь: чис­ли­тель: Sr, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби плюс \ldots плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Sr, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: \dfrac12, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби плюс \dfrac1482 умно­жить на 12 =
= дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: Sr, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби = S левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 13r, зна­ме­на­тель: 800 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = S умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 13r плюс 200, зна­ме­на­тель: 800 конец дроби = 3195.

Пе­рей­дем к урав­не­нию на r:

 дробь: чис­ли­тель: \dfrac37r плюс 200, зна­ме­на­тель: 800 конец дроби \dfrac13r плюс 200800 = дробь: чис­ли­тель: 3555, зна­ме­на­тель: 3195 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 37r плюс 200, зна­ме­на­тель: 13r плюс 200 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 79, зна­ме­на­тель: 71 конец дроби рав­но­силь­но 71 левая круг­лая скоб­ка 37r плюс 200 пра­вая круг­лая скоб­ка = 79 левая круг­лая скоб­ка 13r плюс 200 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 2627r плюс 14 200 = 1027r плюс 15 800 рав­но­силь­но 1600r = 1600 рав­но­силь­но r = 1.

Ответ: 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Верно по­стро­е­на ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 508