Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. Через точку O провели прямую, параллельную основаниям BC и AD, и пересекающую боковые стороны AB и CD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне.
б) Найдите длину основания AD, если AO = CO, BC = 31 и данная прямая делит сторону AB в отношении AM : MB = 4 : 5.
а) Прямые MO и AD параллельны, поэтому 
Следовательно, треугольник AMO — равнобедренный, 
Аналогично 
Так как 
то
6) Пусть 
Тогда
Пусть также 
Тогда 
По теореме косинусов для треугольников AMO и CNO получаем:
откуда находим
Проведём высоты M1M2 и N1N2 через точки M и N соответственно и вычислим длины оснований трапеции:
Таким образом, 
Ответ: б) 31.