Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 689016
i

В пи­ра­ми­де DABC пря­мые, со­дер­жа­щие ребра DA и BC, пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а)  По­строй­те се­че­ние плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку E  — се­ре­ди­ну ребра DB, и па­рал­лель­но DA и BC. До­ка­жи­те, что по­лу­чив­ше­е­ся се­че­ние яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми этого пря­мо­уголь­ни­ка, если DA = 30, BC = 16.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По­стро­е­ние: про­во­дим EK ||DА, EM || CB, KF || BC. Че­ты­рех­уголь­ник EKFM  — ис­ко­мое се­че­ние  — па­рал­ле­ло­грамм. Далее, DA \bot CB \Rightarrow EK \bot CB \Rightarrow EM \bot EK, EK || DA, EM || CB. Зна­чит, EKMF  — пря­мо­уголь­ник.

б)  Так как EK ||DА и E  — се­ре­ди­на DB, от­ре­зок EK  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка DBA, зна­чит, EK= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби DA=15, ана­ло­гич­но ME= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби CB=8. Далее, MK в квад­ра­те =ME в квад­ра­те плюс EK в квад­ра­те , так как EKMF пря­мо­уголь­ник, и MK в квад­ра­те =15 в квад­ра­те плюс 8 в квад­ра­те =289},MK=17. Пусть MK пе­ре­се­ка­ет EF в точке O.

MO=OK=EO=OF= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби MK= дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

За­ме­тим, что ME мень­ше EK. При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке EOM:

EM в квад­ра­те =MO в квад­ра­те плюс OE в квад­ра­те минус 2MO умно­жить на OE умно­жить на ко­си­нус \angle EOM,

сле­до­ва­тель­но,

ко­си­нус \angle EOM= дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на \dfrac289, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 642 умно­жить на \dfrac2894= дробь: чис­ли­тель: 161, зна­ме­на­тель: 289 конец дроби .

Ответ: арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 161, зна­ме­на­тель: 289 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 509423: 511590 689016 Все

Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор стереометрии: Се­че­ние  — па­рал­ле­ло­грамм, Се­че­ние, па­рал­лель­ное или пер­пен­ди­ку­ляр­ное пря­мой, Тре­уголь­ная пи­ра­ми­да, Угол между пря­мы­ми
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026