а)  Будем рас­смат­ри­вать нашу по­сле­до­ва­тель­ность как пе­ре­хо­ды от одной четвёрки к сле­ду­ю­щей. На­при­мер, в на­ча­ле имеем 2000 → 0002 → 0022 → 0224 → 2248 → 2486 →... и т. д.

Четвёрок ко­неч­ное число, сле­ду­ю­щая четвёрка од­но­знач­но опре­де­ле­на через преды­ду­щую, по­это­му на­чи­ная с не­ко­то­ро­го мо­мен­та про­ис­хо­дит за­цик­ли­ва­ние. От­сю­да, од­на­ко, ещё не сле­ду­ет, что 2000 когда-то встре­тит­ся ещё раз. Контр­при­мер: цикл не со­дер­жит четвёрку 2000, но с неё есть путь в этот цикл.

Итак, от четвёрки a,b,c,d мы пе­ре­хо­дим к четвёрке b,c,d, e, где e равно остат­ку от де­ле­ния a+b+c+d на 10.

Те­перь пусть у нас есть четвёрка a, b, c, d. Какой может быть преды­ду­щая четвёрка? Пусть это будет x, a, b, c. Тогда d равно остат­ку от де­ле­ния x+a+b+c на 10, по­это­му x опре­делён од­но­знач­но. Сле­до­ва­тель­но, для каж­дой четвёрки од­но­знач­но опре­де­ле­на преды­ду­щая. По­это­му ни­ка­ких до­пол­ни­тель­ных "вхо­дов" в рас­смот­рен­ный цикл нет (и рас­смот­рен­ный контр­при­мер не­со­сто­я­те­лен). Сле­до­ва­тель­но, 2000 уже в цикле и через какое-то время по­вто­рит­ся.

б)  Пусть чет­вер­ка 2,0,0,0 встре­ти­лась вто­рой раз, тогда перед двой­кой сто­я­ла 8, перед вось­мер­кой стоял ноль, перед нулем - еще один ноль. Зна­чит, цифры 0,0,8,2 обя­за­тель­но встре­тят­ся.

Ответ: а) да; б) да.