Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Ре­ши­те урав­не­ние ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x минус синус x = 2 ко­си­нус 5x.

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Вве­дем вспо­мо­га­тель­ный угол, ис­поль­зу­ем фор­му­лу раз­но­сти ко­си­ну­сов:

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x минус синус x = 2 ко­си­нус 5x рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус x = ко­си­нус 5x рав­но­силь­но ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби умно­жить на ко­си­нус x минус синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби умно­жить на синус x = ко­си­нус 5x рав­но­силь­но
рав­но­силь­но ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус ко­си­нус 5x = 0 рав­но­силь­но 2 синус левая круг­лая скоб­ка 3x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка синус левая круг­лая скоб­ка 2x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус левая круг­лая скоб­ка 3x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = 0, синус левая круг­лая скоб­ка 2x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 3x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби = Пи k, 2x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби = Пи k, конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 36 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

б)  Корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , от­бе­рем при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.). Под­хо­дят числа минус дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 36 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 36 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 36 конец дроби .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 36 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  минус дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 36 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 36 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 36 конец дроби .

 

При­ме­ча­ние.

Пункт б) можно ре­шить при по­мо­щи двой­ных не­ра­венств. Для пер­вой серии:

минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 36 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 36 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 19, зна­ме­на­тель: 36 конец дроби рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби мень­ше или равно k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 19, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби \underset k при­над­ле­жит Z \mathop рав­но­силь­но k = минус 1, 0, 1.

Най­ден­ным зна­че­ни­ям k со­от­вет­ству­ют корни минус дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 36 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 36 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 36 конец дроби . Для вто­рой серии:

минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби мень­ше или равно n мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний n = минус 1, n = 0. конец со­во­куп­но­сти .

Най­ден­ным зна­че­ни­ям n со­от­вет­ству­ют корни минус дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 514
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли
Методы алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти функ­ций, Вве­де­ние вспо­мо­га­тель­но­го угла
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026