ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 690248 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус 5 плюс a правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x в кубе плюс 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс a в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка ax плюс 1 правая круглая скобка минус a в кубе минус 5 правая круглая скобка , знаменатель: a|x| плюс x|a| конец дроби = 0$

имеет ровно два различных корня.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем второй множитель числителя дроби:

$x в кубе плюс 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс a в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка ax плюс 1 правая круглая скобка минус a в кубе минус 5= x в кубе плюс 5x в квадрате плюс 5a в квадрате минус ax в квадрате минус x плюс a в квадрате x плюс a минус a в кубе минус 5=$
$= x в кубе плюс левая круглая скобка 5 минус a правая круглая скобка x в квадрате плюс левая круглая скобка a в квадрате минус 1 правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка 5 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате минус 1 правая круглая скобка =$
$=x в квадрате левая круглая скобка x плюс 5 минус a правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 минус a правая круглая скобка = левая круглая скобка x плюс 5 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс a в квадрате минус 1 правая круглая скобка .$

Выражение $a|x| плюс x|a|$ обращается в нуль, тогда и только тогда, когда значения a и x имеют разные знаки или хотя бы одно из них равно нулю, то есть $a|x| плюс x|a|=0 равносильно ax меньше или равно 0.$

Исходное уравнение равносильно системе:

$система выражений совокупность выражений x в квадрате минус 4x минус 5 плюс a=0, x плюс 5 минус a=0, x в квадрате плюс a в квадрате минус 1=0, конец системы . a|x| плюс x|a| не равно 0 конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений a= минус x в квадрате плюс 4x плюс 5, a=x плюс 5, x в квадрате плюс a в квадрате =1, конец системы . ax больше 0. конец совокупности .$

Построим график полученной системы на плоскости xOa: объединение частей параболы $a= минус x в квадрате плюс 4x плюс 5,$ прямой $a=x плюс 5$ и окружности $x в квадрате плюс a в квадрате =1,$ лежащих в первой и третьей координатных четвертях.

Парабола $a= минус x в квадрате плюс 4x плюс 5$ проходит через точки: $левая круглая скобка 2; 9 правая круглая скобка$   —вершина, $левая круглая скобка 1; 8 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 3; 8 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 0; 5 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка минус 1; 0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 5; 0 правая круглая скобка .$

Прямая $a=x плюс 5$ проходит через точки: $левая круглая скобка 3; 8 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 0; 5 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка минус 5; 0 правая круглая скобка .$

Окружность $x в квадрате плюс a в квадрате =1$ радиусом 1 с центром в точке $левая круглая скобка 0; 0 правая круглая скобка$ проходит через точки: $левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 0; минус 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 1;0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка минус 1; 0 правая круглая скобка .$

Анализируя график, получаем, что система, а значит, и исходное уравнение, имеют ровно два различных решения при $a меньше или равно минус 1,$ $0 меньше a меньше 1,$ $a=8$ и $a=9.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 8; 9 правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 514

Классификатор алгебры: Неравенства с модулями, Неравенства с параметром

Методы алгебры: Разложение на множители

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь