Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 691973
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние ко­си­нус в кубе 2x минус синус в кубе 2x = ко­си­нус 2x минус синус 2x.

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку [0; π].

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

ко­си­нус в кубе 2x минус синус в кубе 2x = ко­си­нус 2x минус синус 2x рав­но­силь­но
рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 2x минус синус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те 2x плюс ко­си­нус 2x синус 2x плюс синус в квад­ра­те 2x пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 2x минус синус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 2x минус синус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­си­нус 2x синус 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 2x минус синус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 4x = 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус 2x = синус 2x, синус 4x = 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 2x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, 4x = Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , x = дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи двой­ных не­ра­венств. Для пер­вой серии кор­ней:

0 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно Пи рав­но­силь­но 0 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но 0 мень­ше или равно 1 плюс 4k мень­ше или равно 8 рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби \underset k при­над­ле­жит Z \mathop рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний k = 0, k = 1. конец со­во­куп­но­сти .

Най­ден­ным зна­че­ни­ям па­ра­мет­ра со­от­вет­ству­ют корни дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби и дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби . Для вто­рой серии кор­ней:

0 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно Пи рав­но­силь­но 0 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но 0 мень­ше или равно k мень­ше или равно 4 \underset k при­над­ле­жит Z \mathop рав­но­силь­но k = 0, 1, 2, 3, 4.

Най­ден­ным зна­че­ни­ям па­ра­мет­ра со­от­вет­ству­ют корни 0, дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и Пи .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) 0, дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , Пи .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли
Методы алгебры: Фор­му­лы двой­но­го угла, Раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026