Через центр окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая, параллельная стороне AC и пересекающая стороны BA и BC в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника MBN равен сумме AB + BC.
б) Найдите длину отрезка MN, если BA = 11, BC = 13, AC = 12.
а) Пусть точка I — центр вписанной окружности, тогда лучи AI и CI делят углы BAC и BCA соответственно пополам, то есть являются их биссектрисами. Прямая MN параллельна стороне AC, углы MIA и IAC равны как накрест лежащие при пересечении этих параллельных прямых секущей AI. Значит, 
то есть треугольник MIA — равнобедренный, 
Аналогично получаем, что 
и 
Выразим периметр треугольника MBN:
б) Пусть 
Треугольники MBN и ABC подобны по двум углам, следовательно,
Из первого равенства получаем:
Из второго неравенства находим:
Отсюда следует, что
Ответ: б) 8.