Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 692603
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус 8x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на тан­генс x = 6 синус в квад­ра­те 4x умно­жить на \ctg x.

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Урав­не­ние опре­де­ле­но, если синус x не равно 0, ко­си­нус x не равно 0, то есть при x не равно дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , где n при­над­ле­жит Z . Пе­рей­дем к след­ствию, умно­жив обе части урав­не­ния на тан­генс x :

левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус 8x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на тан­генс в квад­ра­те x = 6 синус в квад­ра­те 4x \Rightarrow 2 синус в квад­ра­те 4x умно­жить на тан­генс в квад­ра­те x = 6 синус в квад­ра­те 4x \Rightarrow
\Rightarrow со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус в квад­ра­те 4x=0, тан­генс в квад­ра­те x = 3 конец со­во­куп­но­сти . \Rightarrow со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 4x= Пи k, тан­генс x = \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец со­во­куп­но­сти . \Rightarrow со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

С уче­том ОДЗ по­лу­ча­ем: x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k, k при­над­ле­жит Z .

б)  Корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , от­бе­рем при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.). Под­хо­дят числа  дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та а).

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус 8x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на тан­генс x = 6 синус в квад­ра­те 4x умно­жить на \ctg x рав­но­силь­но 2 синус в квад­ра­те 4x умно­жить на тан­генс x = 6 синус в квад­ра­те 4x умно­жить на \ctg x рав­но­силь­но синус в квад­ра­те 4x левая круг­лая скоб­ка тан­генс x минус 3\ctg x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний синус 4x левая круг­лая скоб­ка тан­генс в квад­ра­те x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0, синус x не равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 4 синус x ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка тан­генс в квад­ра­те x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0, синус x не равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 1=0, тан­генс в квад­ра­те x минус 3=0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x= \pm дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 }2 , тан­генс x=\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит \mathbb{Z, зна­ме­на­тель: . конец дроби

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли
Методы алгебры: Фор­му­лы двой­но­го угла, Фор­му­лы по­ни­же­ния сте­пе­ни
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026