Тип 18 № 692609 
Задача с параметром. Системы с параметром
i
Найдите все значения a, при каждом из которых система
имеет ровно четыре решения.
Решение. Выражение 
неотрицательно при всех значениях переменных. Возведем обе части первого уравнения в квадрат, получим:
Если 
то система не имеет решений. Подставим решения первого уравнения системы во второе при 
получим:
Системы полученной совокупности не имеют общих решений, следовательно, количество решений системы равно количеству корней уравнений:
Построим графики функций 
и 
Найдем производную и критические точки:
Значения функций в точке 
равны 
и 
Исходное уравнение имеет ровно четыре решения в двух случаях: один из графиков функций пересекает ось абсцисс трижды, а другой — единожды, либо оба графика пересекают ось абсцисс по два раза. График функции 
лежит на 4,5 единицы выше графика функции 
поэтому из этих случаев возможен только тот, когда график 
пересекает ось Ox три раза, а график — один. Рассмотрим три случая расположения графиков и в зависимости от параметра.
При 
точка — точка минимума, следовательно, поскольку значения функций в этой точке положительны, то каждый график пересечет ось абсцисс по одному разу. При 
точек экстремума нет. Графики также пересекут ось абсцисс по одному разу. При 
точка — точка максимума, нужный случай достигается при одновременном выполнении трех неравенств (см. рис.):
Решим эту систему:
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ:
