В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB 
а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.
б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.
а) Через точки K и M в плоскостях ABC и SBC проведем прямые KL и MN соответственно, параллельные прямой BC, точки K и N — точки пересечения этих прямых с ребрами AB и SB соответственно. Указанные прямые лежат в плоскости α, и четырехугольник KLMN — сечение пирамиды этой плоскостью. Прямая KL параллельна прямой BC, тогда по теореме Фалеса
следовательно, по теореме, обратной теореме Фалеса, прямые ML и SA параллельны. Таким образом, плоскость α параллельна прямой SA.
б) Пусть плоскости SBC и α пересекаются по прямой MN. Обозначим точку T — середину стороны BC, точку P — точку пересечения прямых AT и KL, точку Q — точку пересечения прямых ST и MN. Прямые ST и AT перпендикулярны прямой BC как медианы равнобедренных треугольников. Следовательно, прямая PQ перпендикулярна прямой BC по теореме о трех перпендикулярах. Таким образом, прямая QT перпендикулярна прямой MN. Прямая PQ перпендикулярна прямой MN, потому что прямая MN параллельна прямой BC. Следовательно, угол между плоскостями α и SBC равен углу PQT.
Прямая PQ лежит в плоскости SAT и, следовательно, параллельна прямой SA, а потому 
Тогда:
Запишем теорему косинусов для треугольника SAT:
Таким образом, угол между плоскостями α и SAB 
Ответ: