Две окружности ω1 и ω2 с центрами O1 и O2 пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, пересекает окружность ω1 в точке A, а окружность ω2 — в точке B. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AB, пересекает ω1 и ω2 в точках С и D соответственно.
а) Пусть H1 и H2 — ортоцентры треугольников AQC и BQD соответственно. Докажите, что H1H2 = 2O1O2.
б) Найдите площадь четырёхугольника ACDB, если известно, что радиусы окружностей равны 13 и 15, расстояние между центрами окружностей равно 14, а прямая АВ параллельна линии центров.
а) Трапеция CAPQ вписана в окружность, поэтому является равнобокой и 
Углы CQP и PQD — смежные, то есть 
Трапеция QPBD — вписанная, а потому равнобочная: 
Следовательно, прямые AC и BD параллельны, а точки H1, Q и H2 лежат на одной прямой. Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше расстояния от центра описанной окружности этого треугольника до стороны, противоположной этой вершине. Если точки M, N и K — середины отрезков AC, PQ и BD соответственно, то
Таким образом,
б) Хорда, соединяющая точки пересечения двух окружностей, перпендикулярна прямой, содержащей их центры, то есть прямая O1O2 перпендикулярна прямой PQ. Прямые AB и O1O2 параллельны по условию, поэтому 
Следовательно, четырехугольник ACDB — параллелограмм с прямым углом, то есть прямоугольник. Отрезок O1O2 является средней линией треугольника AQB, откуда 
Из условия следует, что 
и 
Пусть 
тогда по теореме Пифагора из треугольников APQ и BPQ соответственно получаем:
Следовательно,
Таким образом,
Ответ: б) 672.