Бесконечная последовательность {an} строится следующим образом. Возьмем любое натуральное число a и пусть a1 = a. Для всех 
если an делится на n, то 
а если an − 1 не делится на n, то an = an − 1 · n. Например, если a = 1, то последовательность такая: 1, 2, 6, 24, 120, 20, 140, 1120, 10 080, 1008, ...
а) Может ли при каком-то начальном значении a1 = a в последовательности на восьмом месте оказаться число 17?
б) Может ли последовательность {an} начиная с некоторого номера n, только возрастать?
в) Может ли первый элемент a1 появиться в последовательности еще раз?
а) Да. Пусть, например, 
тогда вплоть до a8 будет работать правило деления, и получим 
б) Нет. Пусть последовательность возрастает, начиная с an, и пусть 
—
кратно 
Поскольку 
четно, то кратно 2p. Но в таком случае при 
сработает правило деления.
в) Нет. Допустим, 
тогда все числа от 2 до n разбились на две группы (на числа первой группы мы умножали, на числа второй группы делили) и, поскольку ответ не изменился, произведения чисел в группах должно быть одинаковыми. Тогда произведение чисел в обеих группах, равное 
является точным квадратом. Но это невозможно. К сожалению, совсем элементарного доказательства нет, но можно сослаться на постулат Бертрана: при 
между числами n и 2n всегда найдется хотя бы одно простое число. В таком случае пусть 
и 
причем p — простое. Тогда число n! кратно 
но ни один другой множитель факториала не кратен p, поскольку 
Значит, в разложение n! на простые множители p входит в первой степени, что невозможно для квадратов.
Ответ: а) да; б) нет; в) нет.