В треугольнике ABC проведена медиана AM. На продолжении медианы AM за точку M отложена точка D так, что AM = MD.
На отрезке CD взята точка P так, что CP : PD = 1 : 2. Прямая BP пересекает прямую AC в точке E, а прямую AD — в точке O. Прямая CO пересекает прямую AB в точке K.
а) Докажите, что AK : KB = 3 : 1.
б) Найдите площадь треугольника KOE, если известно, что площадь треугольника ABC равна 160.
а) Диагонали четырехугольника ABDC точкой пересечения делятся пополам, поэтому этот четырехугольник — параллелограмм, то есть прямые AC и BD параллельны. Углы CPE и DPB равны как вертикальные, углы PCE и PDB равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AC и BD секущей BE, поэтому треугольники CPE и DPB подобны. Отсюда получаем, что 
а потому 
По теореме Менелая для треугольника BCE и секущей AM находим:
По теореме Менелая для треугольника ABE и секущей KC получаем:
б) Из доказанного в пункте а) следует, что 
поэтому у треугольников ABC и AKE угол при вершине A — общий, а стороны пропорциональны. Эти треугольники подобны, а прямые BC и KE параллельны по теореме, обратной теореме Фалеса. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть
Отсюда
Пусть 
В трапеции BKCE имеем: 
Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной: треугольники, прилежащие к основаниям, — подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, — равновелики. Следовательно, 
Для трапеции BKCE получаем:
откуда находим:
Ответ: б) 72.