В прямоугольнике KLMN 
Окружность ω1 с центром O1 вписана в угол MNK и касается окружности ω2 с центром в точке O2, вписанной в угол KLM, причем прямая NO1 касается окружности ω2. Известно, что радиус окружности ω1 относится к радиусу окружности ω2 как 2 : 3. Прямая O1O2 пересекает стороны KL и MN в точках P и R соответственно, а общая касательная окружностей ω1 и ω2 пересекает стороны LM и KN в точках Q и S соответственно.
а) Докажите, что площадь четырехугольника PQRS относится к площади прямоугольника KLMN как 25 : 49.
б) Найдите отношение площадей треугольников PRS и PRQ.
а) Пусть окружность ω2 касается прямой NO1 в точке E, а окружности касаются в точке F (см. рис.). Из прямоугольного треугольника O1EO2 получаем:
Углы O2O1E и RO1N равны как вертикальные, поэтому равны и их синусы: 
Окружность ω1 вписана в угол MNK, поэтому луч NO1 является его биссектрисой. Градусная мера внешнего угла треугольника равна сумме градусных мер двух не смежных с ним углов, следовательно,
Отсюда получаем:
Углы MRP и KPR равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых MN и KL секущей RP. Общая касательная к двум окружностям перпендикулярна прямой, соединяющий их центры, поэтому прямые SQ и O1O2 перпендикулярны. Следовательно, четырехугольник SKPF можно вписать в окружность, а потому
Таким образом, искомое отношение равно
б) Площади треугольников с общим основанием относятся как длины проведенных к этому основанию высот: 
Пусть 
Аналогично доказанному в пункте а) получаем, что лучи SO1 и QO2 — биссектрисы углов NSF и FQL соответственно, то есть 
Следовательно, искомое отношение равно
Ответ: 