Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 701536
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка x в кубе плюс x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка a минус x в сте­пе­ни 4 плюс x в кубе плюс 2 x в квад­ра­те = 0

имеет ровно 2 ре­ше­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим ко­эф­фи­ци­ен­ты, за­ви­ся­щие от x:

x в кубе плюс x плюс 2 = левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

x в сте­пе­ни 4 минус x в кубе минус 2x в квад­ра­те = x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Урав­не­ние при­ни­ма­ет вид:

левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка a минус x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка a минус x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = 0.

Для мно­го­чле­на во вто­рой скоб­ке корни под­би­ра­ют­ся по тео­ре­ме Виета: a = минус x в квад­ра­те , a = x минус 2, а по­то­му

левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка a минус x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a минус x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = минус 1, x в квад­ра­те = минус a, x = a плюс 2 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = минус 1, x = минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус a конец ар­гу­мен­та , x = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус a конец ар­гу­мен­та , x = a плюс 2. конец со­во­куп­но­сти .

При a боль­ше 0 зна­че­ния x = \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус a конец ар­гу­мен­та не опре­де­ле­ны, а ко­рень x = a плюс 2 боль­ше 2. Этот слу­чай под­хо­дит.

При a = 0 урав­не­ние имеет три ре­ше­ния: x = минус 1, x = 0, x = 2. Этот слу­чай не под­хо­дит.

При минус 2 мень­ше a мень­ше 0 урав­не­ние имеет два по­ло­жи­тель­ных корня x = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус a конец ар­гу­мен­та , x = a плюс 2 и два от­ри­ца­тель­ных. Для того, чтобы урав­не­ние имело ровно два ре­ше­ния, не­об­хо­ди­мо, чтобы были равны два от­ри­ца­тель­ных и два по­ло­жи­тель­ных корня со­от­вет­ствен­но. Корни x = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус a конец ар­гу­мен­та и x = a плюс 2 сов­па­да­ют при a = минус 1. При этом зна­че­нии па­ра­мет­ра от­ри­ца­тель­ные корни x = минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус a конец ар­гу­мен­та и x = минус 1 также сов­па­да­ют. Сле­до­ва­тель­но, при a = минус 1 урав­не­ние имеет два ре­ше­ния: x = минус 1 и x = 1. Этот слу­чай под­хо­дит.

При a мень­ше минус 2 урав­не­ние имеет по­ло­жи­тель­ный ко­рень x = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус a конец ар­гу­мен­та и три от­ри­ца­тель­ных. Для того, чтобы урав­не­ние имело ровно два ре­ше­ния, не­об­хо­ди­мо, чтобы от­ри­ца­тель­ные корни x = минус 1, x = минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус a конец ар­гу­мен­та и x = a плюс 2 сов­па­да­ли. Од­на­ко эти корни x = минус 1 и x = минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус a конец ар­гу­мен­та сов­па­да­ют при a = минус 1, что боль­ше –⁠2. Этот слу­чай не под­хо­дит.

 

Ответ: a при­над­ле­жит левая фи­гур­ная скоб­ка минус 1 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .


-------------
Дублирует задание № 701444.
Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, но до­пу­щен не­до­чет3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния,

ИЛИ

в ре­ше­нии верно най­де­ны все гра­нич­ные точки мно­же­ства зна­че­ний па­ра­мет­ра, но не­вер­но опре­де­ле­ны про­ме­жут­ки зна­че­ний

2
В слу­чае ана­ли­ти­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к на­бо­ру ре­шен­ных урав­не­ний и не­ра­венств с уче­том тре­бу­е­мых огра­ни­че­ний,

ИЛИ

в слу­чае гра­фи­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния линий (изоб­ра­же­ны не­об­хо­ди­мые фи­гу­ры, учте­ны огра­ни­че­ния, ука­за­на связь ис­ход­ной за­да­чи с по­стро­ен­ны­ми фи­гу­ра­ми)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4
Источники:
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026