Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 704637
i

Ам­пли­ту­да вы­нуж­ден­ных ко­ле­ба­ний ко­раб­ля при качке на вол­не­нии вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой

A = k \theta_0 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: \tau в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка T в квад­ра­те минус \tau в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс n \tau в квад­ра­те T в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

где k  =  0,91  — ко­эф­фи­ци­ент, за­ви­ся­щий от от­но­ше­ния ши­ри­ны ко­раб­ля к длине волны, θ0  =  9°  — угол наи­боль­ше­го вол­но­во­го скло­на, τ  — пе­ри­од волны (в се­кун­дах), T  =  14,7 с  — пе­ри­од сво­бод­ных ка­ча­ний ко­раб­ля на тихой воде, n  =  0,0792  — ко­эф­фи­ци­ент, за­ви­ся­щий от ве­ли­чи­ны со­про­тив­ле­ния воды. При каком пе­ри­о­де волны ам­пли­ту­да вы­нуж­ден­ных ко­ле­ба­ний ко­раб­ля будет наи­боль­шей? Ответ дайте в се­кун­дах.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Зна­че­ние ам­пли­ту­ды A боль­ше 0, по­это­му наи­боль­шее зна­че­ние ве­ли­чин A и A2 до­сти­га­ют­ся в одной точке. Пусть x = \tau в квад­ра­те , x боль­ше 0, до­ста­точ­но ис­сле­до­вать на экс­тре­мум функ­цию A в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка k \theta_0 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , где

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка n минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка T в квад­ра­те x плюс T в сте­пе­ни 4 конец дроби при x боль­ше 0.

Зна­ме­на­тель при x боль­ше 0 по­ло­жи­те­лен. Найдём про­из­вод­ную:

f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2x левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка n минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка T в квад­ра­те x плюс T в сте­пе­ни 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 2x плюс левая круг­лая скоб­ка n минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка T в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка n минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка T в квад­ра­те x плюс T в сте­пе­ни 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби ,

от­ку­да после пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­ча­ем:

f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: T в квад­ра­те x левая круг­лая скоб­ка 2T в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 2 минус n пра­вая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка n минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка T в квад­ра­те x плюс T в сте­пе­ни 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби .

На об­ла­сти опре­де­ле­ния со­мно­жи­тель T в квад­ра­те x и зна­ме­на­тель по­ло­жи­тель­ны, по­это­му про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в нуль толь­ко если 2T в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 2 минус n пра­вая круг­лая скоб­ка x = 0, от­ку­да x_0 = дробь: чис­ли­тель: T в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 1 минус дробь: чис­ли­тель: n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби . По усло­вию, n = 0,0792, а по­то­му f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 при 0 мень­ше x мень­ше x_0, f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 при x боль­ше x_0, по­это­му точка x0  — точка мак­си­му­ма функ­ции f. Сле­до­ва­тель­но, ам­пли­ту­да вы­нуж­ден­ных ко­ле­ба­ний ко­раб­ля будет наи­боль­шей, если

\tau = дробь: чис­ли­тель: T, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 14,7, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус \tfrac0,0792 конец ар­гу­мен­та 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 14,7, зна­ме­на­тель: 0,98 конец дроби = 15.

Ответ: 15.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Верно по­стро­е­на ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026