ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 20 № 704641 Добавить в вариант

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше –⁠120.

Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.

а)  Может ли на столе лежать ровно шесть карточек?

б)  Может ли число красных карточек на столе быть на 90 больше числа синих карточек на столе?

в)  Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?

Спрятать решение

Решение.

а)  Да. Например, на столе одна синяя карточка с цифрой 5 и пять красных карточек с цифрами –⁠6, – 4, –⁠2, 0 и 2 соответственно.

б)  Если на столе s синих карточек и $s плюс 90$ красных карточек, то наибольшее число, написанное на красной карточке, не меньше $2 левая круглая скобка s плюс 90 правая круглая скобка минус 120 = 2s плюс 60.$ Это число не может быть равно удвоенному количеству синих карточек.

в)  Пусть на синих карточках написано s чисел, наибольшее из которых равно a, а на красных карточках написано k чисел, наибольшее из которых равно b. Следовательно, выполнены условия:

$a больше или равно 5s минус 120,$

$b меньше или равно 2k минус 120,$

$a = k,$

$b = 2s,$

откуда получаем систему неравенств

$система выражений 5s минус 120 меньше или равно k, 2k минус 120 меньше или равно 2s конец системы . равносильно система выражений 5s минус 120 меньше или равно k, k минус 60 меньше или равно s. конец системы .$

Отсюда $5s минус 120 меньше или равно s плюс 60,$ то есть $s меньше или равно 45$ и $k меньше или равно 105.$ Таким образом, на столе может лежать не больше 150 карточек.

Покажем, что на столе может лежать ровно 150 карточек. Если на 45 синих карточках написаны числа –⁠115, –⁠110, ..., 105, а на 105 красных карточках написаны числа –⁠118, –⁠116, ..., 90, то условия задачи выполнены.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  150.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Классификатор алгебры: Числовые наборы на карточках и досках

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь