а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие ин­тер­ва­лу

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке  О. Точки М и N  — се­ре­ди­ны ребер АВ и ВС со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α, про­хо­дя­щая через точку О па­рал­лель­но пря­мым B₁M и C₁N, делит ребро BB₁ в от­но­ше­нии 1 : 1.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C₁ до плос­ко­сти α, если AB  =  6, BC  =  4 и AA₁  =  3.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

15 ян­ва­ря Пётр берёт кре­дит в банке на 6 ме­ся­цев в раз­ме­ре 600 тысяч руб­лей. Его усло­вия та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 50% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца с фев­ра­ля по июнь долг дол­жен быть на t тысяч руб­лей мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца, где

—  15 июля кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Какую наи­боль­шую и наи­мень­шую сумму может вы­пла­тить Пётр за всё время по­га­ше­ния кре­ди­та?

Две ка­са­тель­ные к окруж­но­сти, СА и СВ, пе­ре­се­ка­ют­ся в точке С (А и В  — точки ка­са­ния). Вто­рая окруж­ность про­хо­дит через точку С, ка­са­ет­ся пря­мой АB в точке В и пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке М, от­лич­ной от В.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая АМ делит от­ре­зок ВС по­по­лам.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ВСМ, если BC  =  10, а си­ну­сы углов ВАМ и АВМ равны со­от­вет­ствен­но 0,6 и

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет боль­ше по­ло­жи­тель­ных кор­ней, чем от­ри­ца­тель­ных.

Каж­дую цифру a в за­пи­си на­ту­раль­но­го числа n за­ме­ним по­след­ней циф­рой числа 7a. Обо­зна­чим по­лу­чен­ное число через n*. На­при­мер,

а)  Сколь­ко ре­ше­ний имеет урав­не­ние

б)  Су­ще­ству­ет ли ре­ше­ние урав­не­ния

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет трех­знач­ных чисел b, для ко­то­рых урав­не­ние не имеет ре­ше­ния?