а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ную че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду PABCD впи­сан куб, одна грань ко­то­ро­го лежит в плос­ко­сти ос­но­ва­ния АВСD пи­ра­ми­ды, а все вер­ши­ны про­ти­во­по­лож­ной грани лежат на апо­фе­мах бо­ко­вых гра­ней пи­ра­ми­ды. Ребро куба в 2,5 раза мень­ше вы­со­ты пи­ра­ми­ды.

а)  До­ка­жи­те, что вер­ши­ны куба делят апо­фе­мы бо­ко­вых гра­ней пи­ра­ми­ды в от­но­ше­нии 3 : 2, счи­тая от вер­ши­ны пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды, если пло­щадь по­верх­но­сти куба равна 108.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Раз­ра­бо­тав биз­нес-про­ект, пред­при­ни­ма­тель Арина Ан­дре­ев­на взяла в банке кре­дит на 3 года. Усло­вия по­га­ше­ния кре­ди­та та­ко­вы: по про­ше­ствии каж­до­го года банк на­чис­ля­ет 20% на долг, ко­то­рый имеет пред­при­ни­ма­тель на конец этого года. После этого пред­при­ни­ма­тель вно­сит еже­год­ный пла­теж, ко­то­рый в пер­вый год равен х руб­лей, во вто­рой год  — руб­лей, в тре­тий год  — руб­лей, и этим пла­те­жом за­кры­ва­ет­ся кре­дит. Сколь­ко руб­лей пред­при­ни­ма­тель Арина Ан­дре­ев­на вы­пла­ти­ла банку, если из­вест­но, что общая сумма пла­те­жей после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та на 149 000 руб­лей боль­ше суммы, взя­той в кре­дит?

Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция KLMN с ос­но­ва­ни­я­ми KN и LM. Бис­сек­три­сы углов LKN и LMN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О. Точки А и В от­ме­че­ны на бо­ко­вых сто­ро­нах KL и MN со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что AK  =  AO и BM  =  BO.

а)  До­ка­жи­те, что точки A, O и B лежат на одной пря­мой.

б)  Най­ди­те AK : AL, если из­вест­но, что KO  =  OM и LM : KN  =  7 : 17.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно 2 раз­лич­ных ре­ше­ния.

Даны на­ту­раль­ные числа 1, 2, 3, ..., 2025. Из этих чисел вы­бра­ли не­сколь­ко так, что для любых двух вы­бран­ных чисел a и b, где вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ство

а)  Может ли ко­ли­че­ство вы­бран­ных чисел рав­нять­ся 4?

б)  Может ли ко­ли­че­ство вы­бран­ных чисел рав­нять­ся 1200?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел может быть вы­бра­но?