Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

В кубе ABCDAA₁B₁C₁D₁ на продолжении ребра BB₁ отмечена точка P так, что PB : BB₁ = 3 : 4. Через точки А и P параллельно прямой ВD₁ проведена плоскость α. 

а) Докажите, что плоскость α делит ребро DC в отношении 1 : 2.

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью α, если известно, что PB = 18.

Решите неравенство

Окружности ω₁ и ω₂ касаются внешним образом. A₁A₂ и B₁B₂ — их общие внешние касательные (A₁ и B₁ — точки касания с ω₁, A₂ и B₂ — точки касания с ω₂).

а) Докажите, что расстояние между хордами A₁B₁ и A₂B₂ равно среднему гармоническому диаметров окружностей. (средним  гармоническим двух положительных чисел а и b называется значение выражения 

б) Найдите площадь четырехугольника A₁А₂B₂В₁, если радиусы окружностей равны соответственно 9 и 4.

Подруги Полина и Кристина мечтают стать моделями. 1 января они решили начать худеть. При этом вес у Полины оказался на 10% больше, чем у Кристины.

31 января выяснилось, что Полина сбросила 4% своего веса, а Кристина 1%. В феврале Кристина собирается похудеть еще на 2%.

а) На какое наименьшее целое число % нужно похудеть в феврале Полине, чтобы к 1 марта её вес стал меньше, чем у Кристины?

б) Сколько будет весить к концу февраля Кристина, если известно, что 1 января Полина весила 55 кг?

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных действительных корня.

Как известно, шахматный конь ходит буквой «Г» (рис.) 

Конь расположен в левой нижней клетке шахматной доски 8х8 (поле А1). 

а) Может ли конь оказаться в верхней правой клетке  (на поле Н8), сделав при этом ровно 2015 ходов?   

б) Может ли конь за 63 хода побывать в каждой из оставшихся 63 клеток?

в) За какое  наименьшее число  ходов конь может  оказаться в верхней  правой клетке (на поле Н8)?