ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 500111 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

а)  Решите уравнение $синус 2x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x = 0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение.

а)  Последовательно получаем:

$синус 2x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x = 0 равносильно 2 синус x косинус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x = 0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка 2 косинус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений синус x = 0, косинус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = Пи k, x = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $синус 2x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x = 0 равносильно 2 синус x косинус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус x = 0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка 2 косинус x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = 0, косинус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = Пи k, x = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Подходят числа  $3 Пи ,$ $дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а)  $левая фигурная скобка Пи k; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $3 Пи ,$ $дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 500111: 511420 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 13 № 511420 Добавить в вариант

Методы алгебры: Формулы приведения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

а)  Решите уравнение: $синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка = синус 2x$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение.

а)  Используя формулу приведения $синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка = косинус x$ и формулу синуса двойного угла $синус 2x=2 синус x косинус x,$ получаем:

$косинус x=2 синус x косинус x равносильно косинус x левая круглая скобка 1 минус 2 синус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений косинус x = 0, синус x = дробь: числитель: 1}2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит \mathbb{Z, знаменатель: . конец дроби конец совокупности .$ $косинус x=2 синус x косинус x равносильно косинус x левая круглая скобка 1 минус 2 синус x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 0, синус x = дробь: числитель: 1}2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит \mathbb{Z, знаменатель: . конец дроби конец совокупности .$

б)  При помощи тригонометрической окружности отберём корни уравнения, лежащие на отрезке $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Получим $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 500111: 511420 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе