Ниже мы до­ка­жем, что если не­ко­то­рое со­бы­тие на­сту­па­ет с ве­ро­ят­но­стью p, то в серии ис­пы­та­ний это со­бы­тие в сред­нем пер­вый раз будет на­сту­пать на шаге с но­ме­ром В дан­ной за­да­че ве­ро­ят­ность вы­па­де­ния орла равна 0,5, по­это­му при мно­го­крат­ных бро­са­ни­ях в сред­нем пер­вый раз орел будет вы­па­дать на вто­ром шаге. Вто­рой орел  — еще через два шага. Два орла в сред­нем будут вы­па­дать за 4  брос­ка.

Ответ: 4.

Вы­чис­ле­ние ма­те­ма­ти­че­ско­го ожи­да­ния ко­ли­че­ства ис­пы­та­ний до пер­во­го успе­ха.

Про­ве­дем серию ис­пы­та­ний, ре­зуль­та­том каж­до­го из ко­то­рых яв­ля­ет­ся либо успех с ве­ро­ят­но­стью р, где 0 < p < 1, либо не­уда­ча с ве­ро­ят­но­стью При на­ступ­ле­нии успе­ха ис­пы­та­ния пре­кра­ща­ет­ся. Опре­де­лим при таких усло­ви­ях ма­то­жи­да­ние ко­ли­че­ства ис­пы­та­ний до пер­во­го успе­ха.

Ве­ро­ят­ность того, что успех на­сту­пит при пер­вом ис­пы­та­нии равна р. Ве­ро­ят­ность успе­ха на вто­ром ис­пы­та­нии озна­ча­ет, что пер­вое долж­но окон­чить­ся не­уда­чей, а по­то­му она равна qр. На тре­тьем ис­пы­та­нии успех на­сту­па­ет с ве­ро­ят­но­стью q²р и так далее. Опи­сан­ные со­бы­тия не­сов­мест­ные, сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность того, что успех на­сту­пит на каком-то шаге равна сумме най­ден­ных ве­ро­ят­но­стей:

Все сла­га­е­мые в по­лу­чен­ном вы­ра­же­нии по­ло­жи­тель­ны и не пре­вос­хо­дят еди­ни­цы, по­это­му она пред­став­ля­ет собой гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном р и зна­ме­на­те­лем q. Сумма чле­нов этой про­грес­сии равна от­ку­да по­лу­ча­ем:

Будем счи­тать те­перь левую и пра­вую части най­ден­но­го тож­де­ства функ­ци­я­ми, за­ви­ся­щи­ми от q. Из тож­де­ствен­но­го ра­вен­ства вы­ра­же­ний сле­ду­ет ра­вен­ства их про­из­вод­ных, по­это­му, вы­чис­ляя про­из­вод­ную по q, по­лу­чим:

Оста­лось за­ме­тить, что левая часть по­след­не­го ра­вен­ства есть ма­то­жи­да­ние ко­ли­че­ства ис­пы­та­ний до пер­во­го успе­ха. Тем самым для гео­мет­ри­че­ско­го рас­пре­де­ле­ния с ве­ро­ят­но­стью успе­ха р в каж­дом ис­пы­та­нии ма­то­жи­да­ние ко­ли­че­ства ис­пы­та­ний до пер­во­го успе­ха равно

Таким об­ра­зом, если не­ко­то­рое со­бы­тие на­сту­па­ет с ве­ро­ят­но­стью p, то в серии ис­пы­та­ний это со­бы­тие в сред­нем пер­вый раз будет на­сту­пать на шаге с но­ме­ром Это мы и хо­те­ли до­ка­зать.

При­ме­ча­ние.

На пер­вый взгляд, ка­жет­ся есте­ствен­ным вы­чис­лить ис­ко­мое ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние по опре­де­ле­нию. Для этого по­сту­пим рас­смот­рим сле­ду­ю­щие слу­чаи.

Слу­чай двух бро­са­ний: воз­мож­ные ком­би­на­ции ОО, ОР, РО, РР. Ве­ро­ят­ность каж­дой из них равна Под­хо­дя­щей яв­ля­ет­ся лишь  ОО, ве­ро­ят­ность та­ко­го со­бы­тия равна

Слу­чай трех бро­са­ний: воз­мож­ные ком­би­на­ции ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР. Ве­ро­ят­ность каж­дой из них равна Ком­би­на­цию  ООО и ООР от­бра­сы­ва­ем, по­сколь­ку она вы­па­де­ние двух орлов под­ряд от­но­сит­ся к преды­ду­ще­му слу­чаю. Из остав­ших­ся под­хо­дя­щи­ми ком­би­на­ци­я­ми яв­ля­ют­ся ОРО, РОО ве­ро­ят­ность та­ко­го со­бы­тия равна

Слу­чай че­ты­рех бро­са­ний: воз­мож­ные ком­би­на­ции ОООО, ОООР, ООРО, ООРР, ОРОО, ОРОР, ОРРО, ОРРР, РООО, РООР, РОРО, РОРР, РРОО, РРОР, РРРО, РРРР. Ве­ро­ят­ность каж­дой из них равна Ком­би­на­ции, со­дер­жа­щие двух орлов до на­ступ­ле­ния чет­вер­то­го шага, от­бра­сы­ва­ем как учтен­ные ранее. Из остав­ших­ся под­хо­дя­щи­ми яв­ля­ют­ся ОРРО, РОРО, РРОО. ве­ро­ят­ность та­ко­го со­бы­тия равна

Видим за­ко­но­мер­ность: для n брос­ков ве­ро­ят­ность равна Тогда по опре­де­ле­нию ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние равно

Ком­пью­тер­ные вы­чис­ле­ния по­ка­зы­ва­ют, что при стрем­ле­нии ко­ли­че­ства брос­ков  n к бес­ко­неч­но­сти, най­ден­ная сумма не­огра­ни­чен­но при­бли­жа­ет­ся к числу  4. Этот пре­дел и можно счи­тать ис­ко­мым ма­те­ма­ти­че­ским ожи­да­ни­ем. Про­бле­ма лишь в том, как вы­чис­лить этот пре­дел без ис­поль­зо­ва­ния ком­пью­тер­ной тех­ни­ки.

При­ме­ча­ние ре­дак­ции Решу ЕГЭ.

При­ве­ден­ное за­да­ние взято нами из От­кры­то­го банка ма­те­ма­ти­че­ских задач, со­став­лен­но­го раз­ра­бот­чи­ка­ми ЕГЭ.

Если не­ко­то­рое со­бы­тие на­сту­па­ет с ве­ро­ят­но­стью p, то в серии ис­пы­та­ний это со­бы­тие в сред­нем пер­вый раз будет на­сту­пать на шаге с но­ме­ром В дан­ной за­да­че: ве­ро­ят­ность вы­па­де­ния орла равна 0,5, зна­чит, при мно­го­крат­ных бро­са­ни­ях в сред­нем пер­вый раз орел будет вы­па­дать на вто­ром шаге. Вто­рой орел  — еще через два шага, тре­тий раз  — еще через два. По­это­му три орла в сред­нем будут вы­па­дать за 6  брос­ков.

Ответ: 6.

При­ме­ча­ние.

Под­хо­ды к ре­ше­нию задач этого типа и до­ка­за­тель­ства при­ве­де­ны нами на при­ме­ре про­то­ти­па 509393.