Пусть ис­ход­ные числа равны и пусть при­чем

а)  Решим си­сте­му урав­не­ний:

При­ме­ром ис­ход­но­го на­бо­ра чисел может быть 22 дву­знач­ных числа, на­чи­на­ю­щих­ся с еди­ни­цы, сумма еди­ниц ко­то­рых дает 143. На­при­мер, это два­дцать чисел 17, число 11 и число 12.

б)  Решим си­сте­му урав­не­ний:

По­лу­чен­ная си­сте­ма не имеет целых ре­ше­ний, по­это­му усло­вие п. б) не­воз­мож­но.

в)  Тре­бу­ет­ся опре­де­лить, для ка­ко­го наи­боль­ше­го S имеет на­ту­раль­ные ре­ше­ния си­сте­ма урав­не­ний

За­ме­тим, что 363 крат­но 33, по­это­му из вто­ро­го урав­не­ния за­клю­ча­ем, что S крат­но 33, то есть Тогда

Наи­боль­ше­му зна­че­нию S со­от­вет­ству­ет наи­боль­шее зна­че­ние k, при­чем из пер­во­го урав­не­ния ясно, что Вспо­ми­ная, что по­лу­ча­ем оцен­ки и на­хо­дим, что наи­боль­шее k будет до­стиг­ну­то при од­но­вре­мен­ном вы­пол­не­нии и то есть, при вы­пол­не­нии си­сте­мы не­ра­венств:

Тогда

Наи­боль­шим зна­че­ни­ем k, при ко­то­ром A и B будут на­ту­раль­ны­ми, яв­ля­ет­ся ( ). Таким об­ра­зом, наи­боль­шее зна­че­ние Это может быть до­стиг­ну­то при таком на­бо­ре чисел: один­на­дцать чисел 19, семь чисел 18 и одно число 28 ( ).

Пусть пер­вые цифры чисел равны a₁, a₂, ..., a_n, а вто­рые цифры равны b₁, b₂, ..., b_n. Сами числа тогда равны

Их сумма равна

Обо­зна­чая

по­лу­чим, что сумма была равна а ста­нет равна

а)  Решая си­сте­му

по­лу­чим и Можно, на­при­мер, взять 168 чисел, у каж­до­го из ко­то­рых пер­вая цифра равна 1, а вто­рая у 24 чисел равна 5, а у осталь­ных 144 равна 4, тогда A и B по­лу­чат­ся как раз та­ки­ми, как нужно. Итак, го­дят­ся 144 числа 14 и 24 числа 15.

б)  Решая си­сте­му по­лу­ча­ем Но озна­ча­ет, что чисел не более 96, а тогда сумма их по­след­них цифр не пре­вос­хо­дит

в)  Решая си­сте­му на­хо­дим

от­ку­да

Из ре­ше­ния пунк­та б) видно, что от­ку­да

то есть

Кроме того, A и B долж­ны по­лу­чить­ся це­лы­ми, то есть 23 760 – n долж­но быть крат­но 99. Тогда

по­это­му нужно умень­шить n как ми­ни­мум на 93, чтобы по­лу­чить раз­ность Итак,

До­ка­жем, что такое n воз­мож­но. Для него по­лу­ча­ем и можно взять 126 чисел с пер­вой циф­рой 1, 18 из них со вто­рой циф­рой 8, а осталь­ные 108 со вто­рой циф­рой 9. Тогда

Ответ: а)  144 числа 14 и 24 числа 15; б)  нет; в)  11 286.

Пусть пер­вые цифры чисел равны a₁, a₂, ..., a_n, а вто­рые цифры равны b₁, b₂, ..., b_n. Сами числа тогда равны

Их сумма равна

Обо­зна­чая

по­лу­чим, что сумма была равна а ста­нет равна

а)  Решая си­сте­му по­лу­чим Можно, на­при­мер, взять 20 чисел, у каж­до­го из ко­то­рых пер­вая цифра равна 1, а вто­рая у 10 чисел равна 6, а у осталь­ных 10 равна 7, тогда A и B по­лу­чат­ся как раз та­ки­ми, как нужно. Итак, го­дят­ся 10 чисел 16 и 10 чисел 17.

б)  Решая си­сте­му по­лу­ча­ем что, оче­вид­но, не­воз­мож­но.

в)  Решая си­сте­му на­хо­дим:

от­ку­да

Из ре­ше­ния пунк­та б) видно, что от­ку­да по­лу­ча­ем:

то есть Кроме того, A и B долж­ны по­лу­чить­ся це­лы­ми, то есть 3300 – n долж­но быть крат­но 99. Тогда:

по­это­му нужно умень­шить n как ми­ни­мум на 62, чтобы по­лу­чить раз­ность Итак,

До­ка­жем, что такое n воз­мож­но. Для него по­лу­ча­ем и можно взять 18 чисел с пер­вой циф­рой 1, 6 из них со вто­рой циф­рой 9, а осталь­ные 12 со вто­рой циф­рой 8. Тогда

Ответ: а)  10 чисел 16 и 10 чисел 17; б)  нет; в)  1518.

Пусть пер­вые цифры чисел равны a₁, a₂, ..., a_n, а вто­рые цифры равны b₁, b₂, ..., b_n. Сами числа тогда равны

Их сумма равна

Обо­зна­чая

по­лу­чим, что сумма была равна а ста­нет равна

а)  Решая си­сте­му

по­лу­чим A  =  232 и B  =  56. Можно, на­при­мер, взять 56 чисел, у каж­до­го из вто­рая цифра равна 1, а пер­вая у 8 чисел равна 5, а у осталь­ных 48 равна 4, тогда A и B по­лу­чат­ся как раз та­ки­ми, как нужно. Итак, го­дят­ся 48 чисел 41 и 8 числа 51.

б)  Решая си­сте­му

по­лу­ча­ем A  =  236 и B  =  16. Но B  =  16 озна­ча­ет, что чисел не более 16, а тогда сумма их пер­вых цифр не пре­вос­хо­дит

в)  Решая си­сте­му

на­хо­дим тогда

зна­чит,

По­сколь­ку в каж­дом числе пер­вая цифра мень­ше вто­рой не более чем в де­вять раз, то от­ку­да

то есть Кроме того, A и B долж­ны по­лу­чить­ся це­лы­ми, то есть 23 760 – n долж­но быть крат­но 99. На­хо­дим:

по­это­му нужно уве­ли­чить n как ми­ни­мум на 97, чтобы по­лу­чить раз­ность Итак,

До­ка­жем, что такое n воз­мож­но. Для него по­лу­ча­ем A  =  234 и B  =  36 и можно взять 36 чисел со вто­рой циф­рой 1, 18 из них с пер­вой циф­рой 7, а осталь­ные 18 с пер­вой циф­рой 6. Тогда

Ответ: а)  48 чисел 41 и 8 числа 51; б)  нет; в)  594.

Пусть пер­вые цифры чисел равны a₁, a₂, ..., a_n, а вто­рые цифры равны b₁, b₂, ..., b_n. Сами числа тогда равны

Их сумма равна

Обо­зна­чая

по­лу­чим, что сумма была равна а ста­нет равна

а)  Решая си­сте­му

по­лу­чим и Можно на­при­мер взять 126 чисел, у каж­до­го из ко­то­рых пер­вая цифра равна 1, а вто­рая у 78 чисел равна 3, а у осталь­ных 48 равна 6, тогда A и B по­лу­чат­ся как раз та­ки­ми, как нужно. Итак, го­дят­ся 78 чисел 14 и 48 чисел 16.

б)  Решая си­сте­му по­лу­ча­ем Но озна­ча­ет, что чисел не более 81, а тогда сумма их по­след­них цифр не пре­вос­хо­дит

в)  Решая си­сте­му на­хо­дим

от­ку­да

Из ре­ше­ния пунк­та б) видно, что от­ку­да

то есть Кроме того, A и B долж­ны по­лу­чить­ся це­лы­ми, то есть 17 820 – n долж­но быть крат­но 99. Тогда

по­это­му нужно умень­шить n как ми­ни­мум на 20, чтобы по­лу­чить раз­ность

Итак,

До­ка­жем, что такое n воз­мож­но. Для него по­лу­ча­ем и можно взять 94 чисел с пер­вой циф­рой 1, 4 из них со вто­рой циф­рой 8, а осталь­ные 90 со вто­рой циф­рой 9. Тогда

Ответ: а)  78 чисел 14 и 48 чисел 16; б)  нет в)  8 514.