Тип 14 № 511603 
Стереометрическая задача. Угол между плоскостями
i
Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 12. Точки M и N — середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.
Решение. 
а) Пусть точка H — середина AC.
Тогда
Вместе с тем,
а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник BMN является прямоугольным с прямым углом M.
б) Проведём перпендикуляр NP к прямой A1B1.
Тогда NP ⊥ A1B1 и NP ⊥ A1A, следовательно, NP ⊥ ABB1, в частности NP ⊥ PM. Поэтому MP — проекция MN на плоскость ABB1.
Прямая BM перпендикулярна MN, тогда по теореме о трёх перпендикулярах BM ⊥ MP, следовательно, угол NMP — линейный угол искомого угла.
Длина NP равна половине высоты треугольника A1B1C1, то есть 
Поэтому
Следовательно, 
Ответ: б) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б)
Поэтому 
