Пря­мая S₁M пе­ре­се­ка­ет ме­ди­а­ну AO тре­уголь­ни­ка ABD в точке T так, что АТ : TO = 2 : 1, по­сколь­ку T — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка SAS₁ и O — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ос­но­ва­ния ABCD, так как пи­ра­ми­да SABCD пра­виль­ная.

Сле­до­ва­тель­но, AT : TC = 1 : 2. Точка L делит от­ре­зок BC в от­но­ше­нии BL : LC = 1 : 2, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки ACB и TCL по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия k = AC : TC = BC : CL = 3 : 2, так как они имеют общий угол с вер­ши­ной C и сто­ро­ны AC и BC в тре­уголь­ни­ке ABC про­пор­ци­о­наль­ны сто­ро­нам TC и LC тре­уголь­ни­ка TCL, за­клю­ча­ю­щим тот же угол. Зна­чит, сто­ро­на се­че­ния, про­хо­дя­щая через точки L и T, па­рал­лель­на сто­ро­не AB ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды SABCD. Пусть эта сто­ро­на се­че­ния пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AD в точке P.

Сто­ро­на се­че­ния, про­хо­дя­щая через точку M в плос­ко­сти SAB, па­рал­лель­на пря­мой AB, так как плос­кость S₁LM пе­ре­се­ка­ет плос­кость SAB и про­хо­дит через пря­мую PL, па­рал­лель­ную плос­ко­сти SAB. Пусть эта сто­ро­на се­че­ния пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну SB в точке K. Тогда се­че­ние PMKL — рав­но­бо­кая тра­пе­ция, по­сколь­ку AP = BL и AM = BK.

Боль­шее ос­но­ва­ние LP тра­пе­ции равно 6, по­сколь­ку ABCD — квад­рат. Вто­рое ос­но­ва­ние MK тра­пе­ции равно 3, по­сколь­ку MK — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SAB. Зна­чит, сред­няя линия тра­пе­ции равна

Ответ: б) 4,5.

Проведём медиану S₁M треугольника SS₁B, которая пересекает медиану BB₁ основания BCD в точке T. Тогда ВТ : ТВ₁ = 4 : 5, поскольку BB₁ также является медианой треугольника SS₁B.

Точка L, в свою очередь, делит отрезок B₁D в отношении DL : LВ₁ = 4 : 5, так как LD : LC = 2 : 7 и отрезок BB₁ — медиана треугольника BCD.

Следовательно, сторона сечения, проходящая через точки L и T, параллельна стороне BD основания BCD. Пусть прямая LT пересекает BC в точке P.

Проведём через точку M среднюю линию в треугольнике SBD, пусть она пересекает сторону SD в точке K. Тогда PMKL — искомое сечение, причём BP = DL и BM = KD. Из равенства треугольников BMP и DKL получим MP = KL, а значит, PMKL — равнобокая трапеция.

б) Большее основание PL трапеции равно 14, поскольку треугольник LPC правильный. Второе основание MK равно 9, поскольку MK — средняя линия правильного треугольника SBD. Следовательно, средняя линия трапеции равна

Ответ: 11,5.

Прямая S₁M пересекает медиану AO треугольника ABD в точке T так, что АТ : TO = 2 : 1, поскольку T — точка пересечения медиан треугольника SAS₁ и O — точка пересечения диагоналей основания ABCD, так как пирамида SABCD правильная.

Следовательно, AT : TC = 1 : 2. Точка L делит отрезок BC в отношении BL : LC = 1 : 2, следовательно, треугольники ACB и TCL подобны с коэффициентом подобия k = AC : TC = BC : CL = 3 : 2, так как они имеют общий угол с вершиной C и стороны AC и BC в треугольнике ABC пропорциональны сторонам TC и LC треугольника TCL, заключающим тот же угол. Значит, сторона сечения, проходящая через точки L и T, параллельна стороне AB основания пирамиды SABCD. Пусть эта сторона сечения пересекает сторону AD в точке P.

Сторона сечения, проходящая через точку M в плоскости SAB, параллельна прямой AB, так как плоскость S₁LM пересекает плоскость SAB и проходит через прямую PL, параллельную плоскости SAB. Пусть эта сторона сечения пересекает сторону SB в точке K. Тогда сечение PMKL — равнобокая трапеция, поскольку AP = BL и AM = BK.

Большее основание LP трапеции равно 12, поскольку ABCD — квадрат. Второе основание MK трапеции равно 6, поскольку MK — средняя линия треугольника SAB. Значит, средняя линия трапеции равна

Ответ: б) 9.