ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 517536 Добавить в вариант

Источник: Задания 18 (С6) ЕГЭ 2017

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Перебор случаев, Перебор случаев

Задача с параметром. Аналитическое решение уравнений и неравенств

Найти все значения a, при каждом из которых уравнение

$корень из: начало аргумента: 4x минус 1 конец аргумента \ln левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 минус a в квадрате правая круглая скобка =0$

имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

Решение.

Имеем уравнение вида $yz=0,$ откуда на ОДЗ либо $y=0,$ либо $z=0.$ Рассмотрим эти случаи.

Первый случай: $корень из: начало аргумента: 4x минус 1 конец аргумента =0$ при условии $x в квадрате минус 2x плюс 2 минус a в квадрате больше 0.$

Имеем:

$система выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 16 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 минус a в квадрате больше 0 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 16 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 минус a в квадрате больше 0 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: 25, знаменатель: 16 конец дроби минус a в квадрате больше 0 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби . конец системы .$ $система выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 16 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 минус a в квадрате больше 0 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 16 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 минус a в квадрате больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: 25, знаменатель: 16 конец дроби минус a в квадрате больше 0 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби . конец системы .$

Число $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби$ лежит на отрезке [0; 1], для первого случая получаем: $минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби .$

Второй случай: $\ln левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 минус a в квадрате правая круглая скобка =0.$

$система выражений \ln левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 минус a в квадрате правая круглая скобка =0,4x минус 1\geqslant0 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате минус 2x плюс 2 минус a в квадрате =1,4x минус 1\geqslant0, конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате =a в квадрате , 4x минус 1\geqslant0 конец системы . равносильно$ $система выражений \ln левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 минус a в квадрате правая круглая скобка =0,4x минус 1\geqslant0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате минус 2x плюс 2 минус a в квадрате =1,4x минус 1\geqslant0, конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате =a в квадрате , 4x минус 1\geqslant0 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , совокупность выражений x=1 плюс a,x=1 минус a конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x=1 плюс a,1 плюс a больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , конец системы . система выражений x=1 минус a,1 минус a больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x=1 плюс a,a\geqslant минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . левая круглая скобка * правая круглая скобка система выражений x=1 минус a,a меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби . конец системы . левая круглая скобка ** правая круглая скобка конец совокупности .$

Корень $1 плюс a$ лежит на отрезке [0; 1] при $минус 1 меньше или равно a\leqslant0,$ учитывая $левая круглая скобка * правая круглая скобка ,$ получаем $минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно a\leqslant0.$

Корень $1 минус a$ лежит на отрезке [0; 1] при $0 меньше или равно a\leqslant1,$ учитывая $левая круглая скобка ** правая круглая скобка ,$ получаем $0 меньше или равно a меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$

Корни уравнения $x=1 плюс a$ и $x=1 минус a$ совпадают при $a=0.$

Корни уравнения $x=1 плюс a$ и $x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби$ совпадают при $a= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$

Корни уравнения $x=1 минус a$ и $x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби$ совпадают при $a= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при $минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби меньше a\leqslant минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби$ и $дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно a меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ; минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся включением/исключением точек $a= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби$ и/или $a= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$	3
В решении верно найдены все граничные точки $a= минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ,a= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ,a= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ,a= дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби$ , но неверно определены промежутки. ИЛИ Верно найден хоть один из промежутков $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ; минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка$ или $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка ,$ возможно с исключением граничных точек.	2
В решении верно найден один из корней.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 517536: 517543 Все

Источник: Задания 18 (С6) ЕГЭ 2017

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 18 № 517543 Добавить в вариант

Источник: Задания 18 (С6) ЕГЭ 2017

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Перебор случаев, Перебор случаев

Задача с параметром. Аналитическое решение уравнений и неравенств

Найти все значения a, при каждом из которых уравнение

$\ln левая круглая скобка 5x минус 2 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 2x плюс 2a минус a в квадрате конец аргумента =0$

имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

Решение.

Имеем уравнение вида $xy=0,$ откуда на ОДЗ либо $x=0,$ либо $y=0.$ Рассмотрим эти случаи.

Первый случай: $\ln левая круглая скобка 5x минус 2 правая круглая скобка =0,$ при при выполнении условия $x в квадрате минус 2x плюс 2a минус a в квадрате \geqslant0,$ то есть если

$система выражений x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , дробь: числитель: 9, знаменатель: конец дроби 25 минус дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби плюс 2a минус a в квадрате \geqslant0 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ,a в квадрате минус 2a плюс дробь: числитель: 21, знаменатель: 25 конец дроби \leqslant0 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ,a меньше или равно 1 плюс корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 21, знаменатель: 25 конец дроби конец аргумента a больше или равно 1 минус корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 21, знаменатель: 25 конец дроби конец аргумента конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби меньше или равно a меньше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби . конец системы .$ $система выражений x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , дробь: числитель: 9, знаменатель: конец дроби 25 минус дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби плюс 2a минус a в квадрате \geqslant0 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ,a в квадрате минус 2a плюс дробь: числитель: 21, знаменатель: 25 конец дроби \leqslant0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ,a меньше или равно 1 плюс корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 21, знаменатель: 25 конец дроби конец аргумента a больше или равно 1 минус корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 21, знаменатель: 25 конец дроби конец аргумента конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби меньше или равно a меньше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби . конец системы .$

Число $дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби$ лежит на отрезке [0; 1], для первого случая получаем: $дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби меньше или равно a меньше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби .$

Второй случай:

$система выражений x в квадрате минус 2x плюс 2a минус a в квадрате =0,5x минус 2 больше 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка =0,5x минус 2 больше 0, конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс a минус 2 правая круглая скобка =0, 5x минус 2 больше 0 конец системы . равносильно$ $система выражений x в квадрате минус 2x плюс 2a минус a в квадрате =0,5x минус 2 больше 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка =0,5x минус 2 больше 0, конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс a минус 2 правая круглая скобка =0, 5x минус 2 больше 0 конец системы . равносильно$ $система выражений x в квадрате минус 2x плюс 2a минус a в квадрате =0,5x минус 2 больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка =0,5x минус 2 больше 0, конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс a минус 2 правая круглая скобка =0, 5x минус 2 больше 0 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений x больше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби , совокупность выражений x=a,x=2 минус a конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x=a,a больше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби , конец системы . система выражений x=2 минус a,2 минус a больше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x=a,a больше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби конец системы . левая круглая скобка * правая круглая скобка система выражений x=2 минус a,a меньше дробь: числитель: 8, знаменатель: 5 конец дроби . конец системы . левая круглая скобка ** правая круглая скобка конец совокупности .$

Корень a лежит на отрезке [0; 1] при $0 меньше или равно a\leqslant1,$ учитывая $левая круглая скобка * правая круглая скобка ,$ получаем $дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби меньше a\leqslant1.$

Корень $2 минус a$ лежит на отрезке [0; 1] при $1 меньше или равно a\leqslant2,$ учитывая $левая круглая скобка ** правая круглая скобка ,$ получаем $1 меньше или равно a меньше дробь: числитель: 8, знаменатель: 5 конец дроби .$

Корни уравнения $x=a$ и $x=2 минус a$ совпадают при $a=1.$

Корни уравнения $x=a$ и $x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби$ совпадают при $a= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$

Корни уравнения $x=2 минус a$ и $x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби$ совпадают при $a= дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби .$

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при $дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби меньше a меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ,$ и $дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби меньше или равно a меньше дробь: числитель: 8, знаменатель: 5 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби меньше a меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ,$ и $дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби меньше или равно a меньше дробь: числитель: 8, знаменатель: 5 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 517536: 517543 Все

Источник: Задания 18 (С6) ЕГЭ 2017

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе